「斜交座標系」の版間の差分

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== 2次元平面における斜交座標系 ==
2本の[[数直線]] {{math|''x'', ''y''}}定点Oを共通の[[原点 (数学)|原点]]としてをもち、なす角 {{math|&theta;}}(ただし &ne; {{math|0&deg;,90 < &degtheta;, < 180&deg;}})で交わっているとき、その座標系はx軸、y軸からなる斜交座標となる。
座標平面上の全ての点Pは、その点からx軸、y軸に関して[[平行]]線をひくことにより、{{math|P(''a'', ''b'')}} と一意に表すことができる。
逆にある座標P {{math|(''a'', ''b'')}} が与えられれば、Pの座標平面上の位置は一意に決定される。
 
なお、2本の軸のなす角&theta;が {{math|&theta; {{=}} 90&deg;}} のときとして、斜交座標系は直交座標系となるを含む
 
== 直交座標系との座標変換 ==
x軸、y軸からなる斜交座標系と共通の原点を持つx'軸、y'軸からなる直交座標系について、x軸、y軸がx'軸となす角をそれぞれ< {{math>\theta_x</math>、<math>\theta_y</math>|&theta;, &varphi;}} とする。<br>
斜交座標系で {{math|P(''a'', ''b'')}} と表されている点を直交座標 {{math|(''a' '', ''b' '')}} に[[座標変換]]する公式は以下である:
: <math>\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta_xtheta&\cos\theta_yphi\\\sin\theta_xtheta&\sin\theta_yphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}</math>
 
== 内積 ==
{{see also|ベクトルの共変性と反変性}}
直交座標系の場合は、2つの[[空間ベクトル|ベクトル]]<math>\vec{u}=(u_x, u_y), \vec{v}=(v_x, v_y)</math>の[[内積]]はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる:
: <math>\begin{align}\vec{u}\cdot\vec{v} &= u_x v_x +(u_x v_y+u_y v_x)\cos(\theta-\phi)+u_y v_y\\
&= \begin{pmatrix}u_x&u_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\cos(\theta-\phi)\\\cos(\theta-\phi)&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}\qquad\cdots(1)\end{align}</math>
ここで右辺に現れる行列は、[[計量テンソル]]に一般化される。
 
あるいは次のようにも表現できる<ref>{{cite|和書 |author=W. フリューゲ|translator=後藤学 |title=テンソル解析と連続体力学 |publisher=ブレイン図書出版 |year=1979 |isbn= |pages=3-6}}</ref><ref>''u<sup>i</sup> v<sub>i</sub>'' などには[[アインシュタインの縮約記法]]が適用され、総和記号が省略されていることに注意。</ref>:
:<math>\begin{align}
& \vec{u}\cdot\vec{v} = u^i v_i = u^1 v_1 + u^2 v_2, \\
& (u^1,u^2):=(u_x,u_y),\\
& (v_1,v_2):=(v_x+v_y\cos(\theta-\phi), v_x\cos(\theta-\phi)+v_y)
\end{align}</math>
このとき、添字が上についている量({{math|''u''<sup>1</sup>}} など)を'''反変成分'''、下についている量({{math|''v''<sub>1</sub>}} など)を'''共変成分'''という。各座標軸の方向を向く[[単位ベクトル]]('''共変基底ベクトル''')を<math>\vec{e}_1,\vec{e}_2</math> とすれば、反変成分を用いて
:<math>\vec{u} = u^i\vec{e}_i = u^1\vec{e}_1+u^2\vec{e}_2</math>
と書くことができる。また、'''反変基底ベクトル'''として
* <math>\vec{e}^1</math>:y軸(または<math>\vec{e}_2</math>)に垂直で長さが {{math|1/sincos(&theta;&minus;&varphi;)}} のベクトル
* <math>\vec{e}^2</math>:x軸(または<math>\vec{e}_1</math>)に垂直で長さが {{math|1/sincos(&theta;&minus;&varphi;)}} のベクトル
とすれば<ref>これらのベクトルの間には、[[クロネッカーのデルタ]]を用いて、<math>\vec{e}^i\cdot\vec{e}_j = \delta^i_j</math> の関係が成り立つ。</ref>、共変成分を用いて
:<math>\vec{v} = v_i\vec{e}^i = v_1\vec{e}^1+v_2\vec{e}^2</math>
と書くことができる。
 
上記の議論は<math>\vec{u}, \vec{v}</math> を入れ替えても同様に成り立つ。
この例では、計量テンソル''g'' は
 
=== 計量テンソル ===
式(1)の右辺に表れた行列
:<math>\begin{pmatrix}1&\cos(\theta-\phi)\\\cos(\theta-\phi)&1\end{pmatrix}</math>
は[[計量テンソル]]とよばれ、共変・反変基底ベクトルで一般的に表される。
この例斜交座標系では計量テンソル''g'' は
:<math>\begin{align}
g_{ij} &= \begin{pmatrix}\vec{e}_1\cdot\vec{e}_1 & \vec{e}_1\cdot\vec{e}_2 \\ \vec{e}_2\cdot\vec{e}_1 & \vec{e}_2\cdot\vec{e}_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1 & \cossin(\theta-\phi) \\ \cossin(\theta-\phi) & 1\end{pmatrix}, \\
g^{ij} &= \begin{pmatrix}\vec{e}^1\cdot\vec{e}^1 & \vec{e}^1\cdot\vec{e}^2 \\ \vec{e}^2\cdot\vec{e}^1 & \vec{e}^2\cdot\vec{e}^2 \end{pmatrix}
= \frac{1}{\sincos^2(\theta-\phi)}\begin{pmatrix}1 & -\cossin(\theta-\phi) \\ -\cossin(\theta-\phi) & 1\end{pmatrix} = (g_{ij})^{-1}
\end{align}</math>
となる。また反変成分と共変成分の変換は
:<math>u_i=g_{ij}u^j,\quad u^i=g^{ij}u_j</math>
 
とシンプルに表すことができる.
上記の議論は<math>\vec{u}, \vec{v}</math> を入れ替えても同様に成り立つ。
 
== 多次元の場合 ==
{{節stub}}
以上で2次元の場合を説明したが、斜交座標系はより一般の次元においても同様に考えられる。
 
== 脚注 ==