「斜交座標系」の版間の差分

Wetch (会話) による ID:84948588 の版を取り消し φの定義を勘違いしていました.
(→‎内積: 誤記修正)
(Wetch (会話) による ID:84948588 の版を取り消し φの定義を勘違いしていました.)
{{see also|ベクトルの共変性と反変性}}
直交座標系の場合は、2つの[[空間ベクトル|ベクトル]]<math>\vec{u}=(u_x, u_y), \vec{v}=(v_x, v_y)</math>の[[内積]]はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる:
: <math>\begin{align}\vec{u}\cdot\vec{v} &= u_x v_x +(u_x v_y+u_y v_x)\sincos(\theta-\phi)+u_y v_y\\
&= \begin{pmatrix}u_x&u_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&\sincos(\theta-\phi)\\\sincos(\theta-\phi)&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}\qquad\cdots(1)\end{align}</math>
 
あるいは次のようにも表現できる<ref>{{cite|和書 |author=W. フリューゲ|translator=後藤学 |title=テンソル解析と連続体力学 |publisher=ブレイン図書出版 |year=1979 |isbn= |pages=3-6}}</ref><ref>''u<sup>i</sup> v<sub>i</sub>'' などには[[アインシュタインの縮約記法]]が適用され、総和記号が省略されていることに注意。</ref>:
& \vec{u}\cdot\vec{v} = u^i v_i = u^1 v_1 + u^2 v_2, \\
& (u^1,u^2):=(u_x,u_y),\\
& (v_1,v_2):=(v_x+v_y\sincos(\theta-\phi), v_x\sincos(\theta-\phi)+v_y)
\end{align}</math>
このとき、添字が上についている量({{math|''u''<sup>1</sup>}} など)を'''反変成分'''、下についている量({{math|''v''<sub>1</sub>}} など)を'''共変成分'''という。各座標軸の方向を向く[[単位ベクトル]]('''共変基底ベクトル''')を<math>\vec{e}_1,\vec{e}_2</math> とすれば、反変成分を用いて
=== 計量テンソル ===
式(1)の右辺に表れた行列
:<math>\begin{pmatrix}1&\sincos(\theta-\phi)\\\sincos(\theta-\phi)&1\end{pmatrix}</math>
は[[計量テンソル]]とよばれ、共変・反変基底ベクトルで一般的に表される。
斜交座標系では計量テンソル''g'' は
:<math>\begin{align}
g_{ij} &= \begin{pmatrix}\vec{e}_1\cdot\vec{e}_1 & \vec{e}_1\cdot\vec{e}_2 \\ \vec{e}_2\cdot\vec{e}_1 & \vec{e}_2\cdot\vec{e}_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}1 & \sincos(\theta-\phi) \\ \sincos(\theta-\phi) & 1\end{pmatrix}, \\
g^{ij} &= \begin{pmatrix}\vec{e}^1\cdot\vec{e}^1 & \vec{e}^1\cdot\vec{e}^2 \\ \vec{e}^2\cdot\vec{e}^1 & \vec{e}^2\cdot\vec{e}^2 \end{pmatrix}
= \frac{1}{\cossin^2(\theta-\phi)}\begin{pmatrix}1 & -\sincos(\theta-\phi) \\ -\sincos(\theta-\phi) & 1\end{pmatrix} = (g_{ij})^{-1}
\end{align}</math>
となる。また反変成分と共変成分の変換は