「アトラクター」の版間の差分

ベイスンからアトラクターに引き込まれるまでの系の振る舞いを'''過渡状態'''{{Sfn|合原|1993|p=70}}、'''過渡運動'''{{Sfn|井上・秦|1999|p=68}}、'''トランジェント'''（{{Lang-en|transient|links=no}}）{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|p=229}}などと呼ぶ。定義上は時間が無限に過ぎたときに軌道はアトラクターに引き込まれることになっているが、アトラクター周囲に達した後は軌道はアトラクター上と同じ振る舞いをするので、有限時間でアトラクターに引き込まれたと見なして実際上の問題はさほど起きない{{Sfn|井上・秦|1999|p=68}}{{Sfn|竹山|1992|p=39}}。

 

*連続力学系の場合：

**任意の {{Math|''t'' ≥ 0}} について、{{Math|''φ''(''t'', ''R'') ⊂ ''R''}} となる。

微分方程式に[[独立変数]] {{Mvar|t}} を陽に含まない系を[[自励系|自励的]]という{{Sfn|小室|2005|p=17}}。{{Math|'''R'''}} 上の自励的な1次元連続力学系で存在可能なアトラクターは、点アトラクターのみである{{Sfn|Strogatz|2015|pp=32–33}}{{Sfn|伊東|1993|p=80}}。

 

:<math>\dot{x} = y </math>

:<math>\dot{y} = - \frac{g}{l} \sin x - \frac{c}{ml}y </math>

相空間上の[[軌道 (力学系)#特殊な軌道|周期軌道]]に収束するタイプのアトラクターを、'''周期アトラクター'''（{{Lang-en|periodic attractor|links=no}}）{{Sfn|徳永|1990|p=70}}{{Sfn|小室|2005|p=45}}<ref name="井庭・福原"/>や'''周期的アトラクター'''{{Sfn|Thompson & Stewart|1988|p=iii}}<ref name="郷原"/>という。

 

 

周期アトラクターの場合、自励的連続力学系では {{Math|'''R'''²}} 以上から存在する{{Sfn|Strogatz|2015|pp=12&ndash;13}}{{Sfn|伊東|1993|p=80}}。周期アトラクターが現れる例として、次の[[ブラッセレーター|ブラッセレーター方程式]]がある{{Sfn|Jackson|1994|pp=288, 299}}{{Sfn|郡・森田|2011|pp=20&ndash;22}}。

多くのストレンジアトラクターの形は、自己相似形いわゆる[[フラクタル]]の構造となっている{{Sfn|合原|1993|pp=88, 90}}。実際、フラクタル構造を持つアトラクターを指してストレンジアトラクターの定義とする考え方もある{{Sfn|井上・秦|1999|p=79}}{{Sfn|グーリック|1995|p=184}}<ref>{{Cite book ja-jp |author = B. マンデルブロ |others = 広中 平祐（監訳）|publisher = 筑摩書房 |title = フラクタル幾何学　上 |url = https://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480093561/ |series = ちくま学芸文庫 |year = 2011 |isbn = 978-4-480-09356-1 }} pp. 431&ndash;433</ref>。ただし、現在ではストレンジアトラクターを考える上ではフラクタル構造よりも初期値鋭敏性の方がより重要といわれる{{Sfn|Strogatz|2015|p=355}}。初期値鋭敏性がストレンジアトラクターの力学的（動的）な特徴付けであるのに対し、フラクタル構造はストレンジアトラクターの幾何学的（静的）な特徴付けといえる{{Sfn|Jackson|1994|p=303}}{{Sfn|合原（編）|2000|p=121}}。

 

:<math>\dot{x} = -\sigma x + \sigma y </math>

:<math>\dot{y} = -xz + rx - y </math>

 

ストレンジアトラクターのフラクタル構造は、離散力学系である次の[[エノン写像]]が観察しやすい{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|p=98}}{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=122}}。

エノン写像は、{{仮リンク|ミシェル・エノン|fr|Michel Hénon}}がローレンツアトラクターのメカニズムを研究するために人工的に導入したもので、パラメータ {{Math|(''a'', ''b'') {{=}} (1.4, 0.3)}} のときに、バナナのような形に折れ曲がったアトラクターが存在{{Sfn|グリック|1991|pp=260&ndash;262}}。このアトラクターは'''エノンアトラクター'''と呼ばれ、全体図からは単純な数本の線から成るように見えるが、アトラクターの一部を拡大していくと自己相似形の無限の線からできていることが分かる{{Sfn|グーリック|1995|pp=154&ndash;155}}。エノンアトラクターの次元は、数値計算で[[ボックスカウンティング次元]]（[[フラクタル次元]]の一種） 1.26 という値が求められている{{Sfn|Falconer|2006|p=247}}。

 

アトラクターの定量的評価は、[[リアプノフスペクトラム]]、[[フラクタル次元]]、[[パワースペクトル]]などによって行われる{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=122|佐野|2001|2pp=85, 88|竹山|1992|3pp=58&ndash;61}}。ただし、パワースペクトル評価ではカオスとノイズ（あるいは周期的振る舞いにノイズが乗ったもの）との区別が付きにくいという欠点がある{{Sfn|伊東|1993|pp=64&ndash;67}}。特に、リアプノフスペクトラムによる分類がアトラクターの正確な分類を与えてくれる{{Sfn|佐野|2001|p=85}}。

 

;点アトラクター

:アトラクターすなわち固定点上からのズレは、全ての方向において吸引される{{Sfn|竹山|1992|p=41}}。よって、点アトラクターの全てのリアプノフ指数は負である{{Sfn|合原（編）|2000|p=16}}{{Sfn|佐野|2001|p=85}}。

|}

 

 

系のパラメータ（微分方程式や写像の係数）が変わると、ある臨界値を境に系の定性的な振る舞いが変わることがある{{Sfnm|井上・秦|1999|1p=36|Strogatz|2015|2p=49}}。この現象を[[分岐 (力学系)|分岐]]という{{Sfnm|井上・秦|1999|1p=36|Strogatz|2015|2p=49}}。アトラクターやベイスンも分岐によって変化する{{Sfn|徳永|1990|p=80}}{{Sfn|上田|2008|p=14}}。点アトラクターが周期アトラクターになったり、周期アトラクターが準周期アトラクターになったりする{{Sfn|徳永|1990|p=80}}。あるいは、アトラクター自体が消滅したり、新しいアトラクターが出現したりする{{Sfn|上田|2008|p=14}}。特に、単純な振る舞いがいくつかの分岐を経てストレンジアトラクター（カオス的振る舞い）へ変わる道筋は'''カオスへのルート'''（{{Lang-en|route to chaos|links=no}}）などと呼ばれる{{Sfnm|徳永|1990|1p=98|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2p=20|合原・黒崎・高橋|1999|3p=31}}。

 

==時系列データからの再構成==

|isbn = 978-4-7828-1010-1

|ref = {{Sfnref|合原（編）|2000}}

}}

*{{Cite book ja-jp

|title = Perspectives of Nonlinear Dynamics 1

|publisher = Cambridge University Press

}}

*{{Cite book ja-jp

|url = https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b294298.html

|publisher = 丸善出版

|isbn = 978-4-621-06279-1

}}

*{{Cite book ja-jp

|url = https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b294302.html

|publisher = 丸善出版

|isbn = 978-4-621-06540-2

}}

*:［原著］{{Cite book

|title = Chaos: An Introduction to Dynamical Systems

|publisher = Springer-Verlag New York

}}

*{{Cite book ja-jp