「アトラクター」の版間の差分
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==背景==
一般に、[[力学系]]の振る舞いは「保存的」か「散逸的」かに分類できる{{Sfn|Jackson|1994|p=123}}。物理的な系として[[ばね]]や[[振り子]]の系を考えると、系に[[摩擦]]が無いときは[[力学的エネルギー]]が保存され続けるのに対して、系が摩擦があるときは力学的エネルギーは熱に変わって系から失われる{{Sfn|竹山|1992|p=30}}。前者のような系を[[保存系]]と呼び、後者のような系を[[散逸系]]と呼ぶ{{Sfn|竹山|1992|p=30}}。日常的に観測される実存の系の多くは散逸系といえる{{
何かの状態の[[時間発展]]が[[微分方程式]]や[[差分方程式]]などの決まった規則にしたがって起こるとき、力学系の考え方ではその状態を空間上の1点とみなす。時間発展に従って動く空間上の点の軌跡は[[軌道 (力学系)|軌道]]と呼ばれ、状態の時間変化を表している{{Sfn|井上・秦|1999|p=65}}。状態の集まりである空間は[[相空間]]や[[状態空間]]と呼ばれる{{Sfn|徳永|1990|p=66}}。散逸系とは、数学的には、相空間の体積要素（2次元であれば[[面積]]、3次元であれば普通の意味での[[体積]]）が時間発展にともなって減少していく系を指す{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=20}}。
このような散逸系では、相空間上の軌道がある一定の領域へ引き付けられる現象が存在する{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=102}}。このような散逸系で軌道を引き付ける領域（状態の集まり）をアトラクターと呼ぶ{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=102}}。一方の保存系ではアトラクターは存在しない{{Sfn|竹山|1992|p=39}}。アトラクターが存在するとき、ある程度の時間経過後に系の状態はそのアトラクターにほとんど引き込まれるため、アトラクター上での振る舞いが実質的に系の長期的な振る舞いを支配しているといえる{{Sfn|井上・秦|1999|p=68}}。また、何かの乱れが系に加わったとしても、乱れがさほど大きくなければ、やはり状態はアトラクターへ引き込まれる{{
==定義==
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あるアトラクターに引き付けられる全ての点の集合を'''ベイスン'''（{{Lang-en|basin of attraction|links=no}}）{{Sfn|郡・森田|2011|p=17}}や、'''吸引域'''{{Sfn|Thompson & Stewart|1988|p=11}}、'''吸引領域'''{{Sfn|Strogatz|2015|p=353}}、'''引力圏'''{{Sfnm|上田|2008|1p=7|伊東|1993|2p=146}}と呼ぶ。数学的には、アトラクターの定義に出てくる近傍 {{Mvar|B}} の内、様々な大きさが取り得る {{Mvar|B}} の中で最大のものがベイスンである{{Sfn|Strogatz|2015|p=353}}。あるアトラクターに対するベイスンは、そのアトラクター自体も含んでいる{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=104}}。
ベイスンからアトラクターに引き込まれるまでの系の振る舞いを'''過渡状態'''{{Sfn|合原|1993|p=70}}、'''過渡運動'''{{Sfn|井上・秦|1999|p=68}}、'''トランジェント'''（{{Lang-en|transient|links=no}}）{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|p=229}}などと呼ぶ。定義上は時間が無限に過ぎたときに軌道はアトラクターに引き込まれることになっているが、アトラクター周囲に達した後は軌道はアトラクター上と同じ振る舞いをするので、有限時間でアトラクターに引き込まれたと見なして実際上の問題はさほど起きない{{
また、アトラクターないし吸引集合と関連して'''トラッピング領域'''（{{Lang-en|trapping region|links=no}}）{{Sfnm|松本・徳永・宮野・徳田|2002|1p=5|Strogatz|2015|2p=223|徳永|1990|3p=91}}、'''捕捉領域'''{{
*連続力学系の場合：
**任意の {{Math|''t'' ≥ 0}} について、{{Math|''φ''(''t'', ''R'') ⊂ ''R''}} となる。
*離散力学系の場合：
**{{Math|''f''(''R'') ⊂ ''R''}} となる。
連続力学系のトラッピング領域は、{{Mvar|R}} の[[境界 (位相空間論)|境界]]のどの点においてもベクトル場が {{Mvar|R}} の内へ向いていることと同等である{{
*連続力学系の場合：
*:<math> A = \bigcap_{t > 0} \phi (t, R) </math>
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===点アトラクター===
[[File:Phase plane of damped pendulum.svg|thumb|250px|減衰振り子の点アトラクター。赤、青、緑の異なる初期値から出発した軌道が全て1点（原点）に収束する。]]
相空間上の1点
[[固定点]]とは、時間変化しても相空間上で動かない点のことで{{Sfn|Strogatz|2015|pp=161, 382}}、連続力学系では[[平衡点]]、離散力学系では[[不動点]]とも呼び分けることもある{{Sfn|松葉|2011|p=32}}。固定点の周りの軌道がどのように振る舞うかは様々な可能性が考えられるが、
微分方程式に[[独立変数]] {{Mvar|t}} を陽に含まない系を[[自励系|自励的]]という{{Sfn|小室|2005|p=17}}。{{Math|'''R'''}} 上の自励的な1次元連続力学系で存在可能なアトラクターは、点アトラクターのみである{{
[[File:Phase space of a simple pendulum.gif|thumb|330px|減衰を受ける振子（左）は、相平面上の1点（右）に収束する。]]
点アトラクターの物理的な一例は、減衰を受ける[[振り子]]である{{
:<math>\dot{x} = y </math>
:<math>\dot{y} = - \frac{g}{l} \sin x - \frac{c}{ml}y </math>
ここで、{{Mvar|x}} は振り子の[[角度]]、{{Mvar|y}} は振り子の[[角速度]]、{{Mvar|g}} は[[重力加速度]]、{{Mvar|l}} は振り子の棒の長さ、{{Mvar|m}} は重りの質量、{{Mvar|c}} は減衰係数である{{Sfn|グーリック|1995|p=244}}。{{Math|''c'' > 0}} であれば、この系の解は、{{Math|(''x'', ''y'') {{=}} (180°, 0)}} を除く全ての初期条件から始まる運動が原点に収束する{{
===周期アトラクター===
[[File:Limit cycle of Brusselator.svg|thumb|x270px|[[ブラッセレーター|ブラッセレーター方程式]]で現れる周期アトラクター。赤、青、緑の異なる初期値から出発した軌道が、1つの[[閉曲線]]に巻きつく。]]
相空間上の[[軌道 (力学系)#特殊な軌道|周期軌道]]に収束するタイプのアトラクターを、'''周期アトラクター'''（{{Lang-en|periodic attractor|links=no}}）{{
連続力学系では、周期軌道とは相空間上の1本の[[単純閉曲線]]であり、解はその線を沿って動き続ける{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|p=149}}。近傍の軌道が引き付けられる漸近安定な閉曲線と近傍の軌道が離れていく漸近不安定な閉曲線を、合わせて[[リミットサイクル]]と呼ぶ{{Sfn|郡・森田|2011|p=17}}。周期アトラクターとは漸近安定な[[リミットサイクル]]のことである
周期アトラクターの場合、自励的連続力学系では {{Math|'''R'''<sup>2</sup>}} 以上から存在する{{Sfn|Strogatz|2015|pp=12–13}}{{Sfn|伊東|1993|p=80}}。周期アトラクターが現れる例として、次の[[ブラッセレーター|ブラッセレーター方程式]]がある{{Sfn|Jackson|1994|pp=288, 299}}{{Sfn|郡・森田|2011|pp=20–22}}。
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==一つの系が持つアトラクター・ベイスンの数・種類・変化==
1つの系に存在するアトラクターは1つとは限らず、1つの系に複数のアトラクターが共存できる{{Sfn|井上・秦|1999|p=61}}。1つの系に多数のアトラクターが併存することは珍しくなく、無限個のアトラクターを持つような系を考えることもできる{{
アトラクターが複数存在するときは、ベイスンの棲み分けが起き、初期条件に応じてどのアトラクターに引き込まれるかが決まる{{Sfn|金子|2009|p=69}}{{Sfn|早間|2002|p=84}}。種類の異なる振る舞いごとに相空間を分ける軌道を[[セパラトリックス]]といい{{Sfn|松葉|2011|p=15}}、ベイスン同士の境界線のこともセパラトリックスという{{Sfn|上田|2008|p=7}}。アトラクターが複数ある場合、リアプノフ指数のような各種指標もアトラクターごとに固有である{{Sfn|井上・秦|1999|p=61}}。
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という複素平面上の離散力学系が定義できる{{Sfn|早間|2002|pp=204–205}}。この写像が {{Math|''n'' → ∞}} で収束する値は {{Math|''p''(''z'')}} の零点であり、力学系的には複素平面上の吸引不動点（点アトラクター）である{{Sfn|Falconer|2006|p=299}}{{Sfn|グリック|1991|pp=370–371}}。{{Math|''p''(''z'')}} の[[多項式の次数|次数]]が3以上のとき、ニュートン法による写像のベイスン境界は非常に複雑な形となる{{Sfn|Falconer|2006|p=301}}。特に、{{Math|''p''(''z'') {{=}} ''z''<sup>3</sup> − 1}} の3次多項式では3つの点アトラクターのベイスン境界は鎖あるいは数珠つなぎのようなフラクタルを成すことが知られている{{Sfn|Falconer|2006|p=302}}{{Sfn|グリック|1991|pp=371–374}}。
他の特殊で複雑なベイスンとしては'''リドルベイスン'''や'''リドルドベイスン'''（{{Lang-en|riddled basin|links=no}}）と呼ばれるものがある{{
===分岐現象、カオスへのルート===
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特に、単純な振る舞いがいくつかの分岐を経てカオス的振る舞いへ変わる道筋は、'''カオスへのルート'''（{{Lang-en|route to chaos|links=no}}）などと呼ばれる{{Sfnm|徳永|1990|1p=98|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2p=20|合原・黒崎・高橋|1999|3p=31}}。広く認知されているカオスへのルートには、'''周期倍分岐ルート'''、'''間欠ルート'''、'''準周期崩壊ルート'''の3つがある{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=21}}。周期倍分岐ルートでは、周期アトラクターが有限のパラメータ範囲の中で[[周期倍分岐]]を無限回繰り返してカオスに至る{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=21}}。周期倍分岐とは {{Mvar|k}} 周期の安定閉軌道が {{Mvar|k}} 周期の不安定閉軌道と {{Math|2''k''}} 周期の安定閉軌道と分岐する現象で{{Sfn|グーリック|1995|p=48}}、無限の周期倍分岐の列は周期倍カスケードとして知られる{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|p=192}}。間欠ルートでは、カオス的不変集合を潜在的に伴っていた周期アトラクターがサドルノード分岐で消滅し、ストレンジアトラクターが現れる{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=21}}{{Sfn|徳永|1990|p=105}}。周期アトラクター消滅後にも、カオス軌道の中で元の周期的な振る舞いが一定時間ごとに（間欠的に）起こる特徴を持ち、このような振る舞いを間欠性カオスという{{Sfn|徳永|1990|p=104}}{{Sfn|佐野|2001|pp=69–70}}。準周期崩壊ルートとは、準周期アトラクターが位相ロッキングと呼ばれる振動数比の有理数化（すなわち周期アトラクター化）を経てカオスに至る道筋である{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=21}}{{Sfn|徳永|1990|pp=100–104}}。最終的なカオスへの遷移自体は、上記の周期倍カスケードや間欠カオスによって起こる{{Sfn|佐野|2001|pp=70–71}}{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=21}}。
特に周期倍分岐ルートは
:<math>\dot{x} = -y - z </math>
:<math>\dot{y} = x +a y </math>
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アトラクターの再構成を行う上でまず問題となるのは、埋め込み次元 {{Mvar|m}} と時間遅れ {{Mvar|τ}} をどう決めるのかである{{Sfn|Strogatz|2015|pp=480–481}}{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|pp=40, 49}}。埋め込み次元については、定理上は {{Math|''m'' > 2''d''}} であれば埋め込みであることが保証されるが、これは[[十分条件]]であり、{{Mvar|m}} がこれ以下でも埋め込みとなることはあり得る{{Sfn|合原（編）|2000|p=75}}。埋め込み次元が小さいと、再構成された曲線で摂動でも消えない自己交差が起き、1対1とならない{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012c|pp=160–161}}。しかし、埋め込み次元を大きく取り過ぎると、計算コストの問題や予測への悪影響が出てくる<ref name="鈴木"/>。そのため、先にアトラクターの次元を推定する<ref name="鈴木">{{Cite journal ja-jp |author = 鈴木 秀幸 |year = 1998 |title = Takensの埋め込み定理 |journal = 日本ファジィ学会誌 |volume = 10 |issue = 4 |publisher = 日本知能情報ファジィ学会 |doi = 10.3156/jfuzzy.10.4_82 |pages = 664–665 }}</ref>。カオス時系列の解析において標準的に利用されている手法は、ボックスカウント次元の代わりに[[相関次元]]を使うもので、{{仮リンク|ピーター・グラスバーガー|en|Peter Grassberger}}と{{仮リンク|イタマー・プロカッチャ|en|Itamar Procaccia}}が導入した[[GPアルゴリズム]]で比較的容易に相関次元を計算できる{{Sfn|合原（編）|2000|p=132}}{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|pp=55–56}}。埋め込み次元を増やしながら再構成したアトラクターの相関次元を計算し、相関次元の増加が頭打ちになったとき、このときの相関次元値をアトラクターの次元とし、このときの埋め込み次元を最適な {{Mvar|m}} 値とする{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=55}}。他には、アトラクター次元推定を行わずに、埋め込み次元が不足していることで生じる自己交差が解消される {{Mvar|m}} 値を設定された指標を使って推定する手法もある{{Sfn|合原（編）|2000|pp=75–80}}{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|pp=59–64}}。
一方の時間遅れ {{Mvar|τ}} については、埋め込み定理上では任意でよく、値の設定に制限がない{{Sfn|合原（編）|2000|p=66}}{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=49}}。しかし実際には {{Mvar|τ}} が小さ過ぎると、変換後のデータの相関が高く成り過ぎて、再構成されたアトラクターの形状は細長くつぶれてしまう{{
===実現象への適用===
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