「アトラクター」の版間の差分

 

==背景==

 

 

 

==定義==

力学系の位相的推移性あるいは推移性とは、直感的に言えば軌道がその領域内をくまなく動き回ることを意味する{{Sfn|グーリック|1995|p=87}}。{{Harv|松葉|2011}}、{{Harv|Hirsch, Smale & Devaney|2007}}、{{Harv|久保・矢野|2018}} も 位相的推移性をアトラクターの条件として挙げている{{Sfnm|松葉|2011|1pp=116,120|Hirsch, Smale & Devaney|2007|2p=316|久保・矢野|2018|3p=197}}。{{Harv|小室|2005}} でも[[稠密集合|稠密]]な軌道の存在という形でアトラクターを定義付けている{{Sfn|小室|2005|p=112}}。{{Harv|Strogatz|2015}} や {{Harv|Falconer|2006}} では、位相的推移性の代わりに {{Mvar|A}} が[[不変集合|極小集合]]であること、すなわち {{Mvar|A}} の全ての真部分集合が吸引集合の条件を満たさないことをアトラクターの定義としている{{Sfnm|Strogatz|2015|1p=353|Falconer|2006|2p=234}}。

 

いずれにしても、吸引集合にさらに位相推移性や極小の条件を課す理由は、認定したアトラクターが実は独立したアトラクターの集まりであり、実際にはさらに細かく分けられるような事態を避けたいという動機による{{Sfnm|Devaney|2003|1p=179|Strogatz|2015|2p=354|Hirsch, Smale & Devaney|2007|3p=317}}。吸引集合の条件だけでは、軌道が最終的にどこに落ち着くのか曖昧だという欠点がある{{Sfnm|ウィギンス|2013|1p=47|松葉|2011|2p=119}}。この点を説明する例として良く出されるのが次の {{Math|'''''x''''' {{=}} (''x'', ''y'')^⊤}} の2次元ベクトル場である{{Sfnm|ウィギンス|2013|1pp=46–47|Strogatz|2015|2pp=353–354|松葉|2011|3pp=119|Hirsch, Smale & Devaney|2007|4p=317}}。

 

===点アトラクター===

[[File:Phase plane of damped pendulum.svg|thumb|250px|減衰振り子の点アトラクター。赤、青、緑の異なる初期値から出発した軌道が全て1点（原点）に収束する。]]

 

[[固定点]]とは、時間変化しても相空間上で動かない点のことで{{Sfn|Strogatz|2015|pp=161, 382}}、連続力学系では[[平衡点]]、離散力学系では[[不動点]]とも呼び分けることもある{{Sfn|松葉|2011|p=32}}。固定点の周りの軌道がどのように振る舞うかは様々な可能性が考えられるが、近傍の軌道を引き付ける性質を持つ固定点を[[漸近安定]]であるという{{Sfnm|久保・矢野|2018|1p=192|Thompson & Stewart|1988|2p=109}}。点アトラクターとは、言い換えれば漸近安定な固定点のことである{{Sfn|上田|2008|p=45}}。ただし、点アトラクターを指して単に'''固定点'''{{Sfn|佐野|2001|p=85}}、'''平衡点'''{{Sfn|合原（編）|2000|p=15}}<ref name="井庭・福原"/>、'''不動点'''{{Sfn|グリック|1991|p=232}}ということもある。

相空間上の[[軌道 (力学系)#特殊な軌道|周期軌道]]に収束するタイプのアトラクターを、'''周期アトラクター'''（{{Lang-en|periodic attractor|links=no}}）{{Sfnm|徳永|1990|p=70|小室|2005|2p=45}}<ref name="井庭・福原"/>や'''周期的アトラクター'''{{Sfn|Thompson & Stewart|1988|p=iii}}<ref name="郷原"/>という。

 

 

:<math>\dot{x} = a + x^2 y - (1+b)x </math>

:<math>\dot{y} = bx -x^2 y </math>

 

===準周期アトラクター===

相空間上の[[準周期軌道]]に収束するタイプのアトラクターを、'''準周期アトラクター'''（{{Lang-en|quasi-periodic attractor|links=no}}）{{Sfnm|徳永|1990|1p=71|小室|2005|2p=45}}<ref name="井庭・福原"/>や'''概周期アトラクター'''<ref name="郷原">{{Cite journal ja-jp |author = 郷原 一寿 |year = 1996 |title = ダイナミカルシステムとしての生物 |journal = BME |volume = 10 |issue = 4 |publisher = 日本生体医工学会 |doi = 10.11239/jsmbe1987.10.4_3 |pages = 5&ndash;6 }}</ref><ref name="井庭・福原"/>という。

 

 

:<math>\dot{x} = (z - \beta)x - \omega y </math>

:<math>\dot{y} = \omega x + (z - \beta)y </math>

===ストレンジアトラクター===

[[File:Lorenz attractor and its transients.png|thumb|330px|[[ローレンツ方程式]]で現れるストレンジアトラクター。赤、青、緑の異なる初期値から出発した軌道が、「チョウの1対の羽」{{Sfn|Strogatz|2015|p=348}}のような形をしたアトラクターに引き付けられる。]]

 

 

*連続力学系の場合：

**ある {{Math|''&delta;'' > 0}} が存在し、任意の {{Math|''x'' &isin; ''A''}} と任意の近傍 {{Math|''U''(''x'')}} に対して、{{Math|{{Abs|''&phi;''(''t'', ''x'') &minus; ''&phi;''(''t'', ''y'')}} > ''&delta;''}} を満たす {{Math|''y'' &isin; ''U''}} と {{Math|''t'' &isin; '''R'''}} が存在する。

 

[[File:Self-similarity of Henon map.png|thumb|330px|[[エノン写像]]で現れるストレンジアトラクター（最上図）とその自己相似性（下図3つ）。{{Math|''n'' {{=}} 2²⁰}} まで繰り返し計算した例。]]

 

:<math>\dot{x} = -\sigma x + \sigma y </math>

:<math>\dot{y} = -xz + rx - y </math>

ローレンツが使用したパラメータは {{Math|(''&sigma;'', ''r'', ''b'') {{=}} (10, 28, 8/3)}} で、このときに存在するアトラクターは'''ローレンツアトラクター'''として有名である{{Sfn|合原|1993|pp=79&ndash;80}}。

 

:<math>x_{n+1} = 1 - a x_{n}^2n + y_{n} </math>

:<math>y_{n+1} = b x_n </math>

ある軌道とある軌道が離れていく度合いを定量化したもの[[リアプノフ指数]]といい、{{Mvar|n}} 次元力学系であればリアプノフ指数は各方向に対応して {{Mvar|n}} 個存在する{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|p=1}}。このリアプノフ指数を大きい順に並べたもの {{Math|(''&lambda;''₁, ''&lambda;''₂, &hellip;, ''&lambda;''_''n'')}} をリアプノフスペクトラムという{{Sfn|合原（編）|2000|p=163}}。リアプノフスペクトラムで各アトラクターの特性を説明すると以下のようになる。

;点アトラクター

;周期アトラクター

;準周期アトラクター

;ストレンジアトラクター

以上のような各アトラクターに対する指標・特性をまとめると、以下の表のようになる。

 

|| {{Mvar|n}} 未満の非整数

|-

|| {{Math|''i'' {{=}} 1,&hellip;, ''n''}} で {{Math|''&lambda;_i'' < 0}}

|| {{Math|''i'' {{=}} 1}} で {{Math|''&lambda;_i'' {{=}} 0}}<br />

{{Math|''i'' {{=}} ''m''+1,&hellip;, ''n''}} で {{Math|''&lambda;_i'' < 0}}

|-

|| {{Math|''&lambda;''₁ < 0 }}<br />

{{Math|''&lambda;''₂ < 0 }}<br />

{{Math|''&lambda;''₃ < 0 }}

|-

|}

 

1つの系に存在するアトラクターは1つとは限らず、1つの系に複数のアトラクターが共存できる{{Sfn|井上・秦|1999|p=61}}。1つの系に多数のアトラクターが併存することは珍しくなく、無限個のアトラクターを持つような系を考えることもできる{{Sfnm|Thompson & Stewart|1988|1p=iv|早間|2002|2p=84|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|3p=93}}。点アトラクターと周期アトラクター、点アトラクターとストレンジアトラクターなど、複数の種類のアトラクターが同時に存在することもある{{Sfn|Thompson & Stewart|1988|p=iv}}。

 

 

===複雑なベイスン===

特に、単純な振る舞いがいくつかの分岐を経てカオス的振る舞いへ変わる道筋は、'''カオスへのルート'''（{{Lang-en|route to chaos|links=no}}）などと呼ばれる{{Sfnm|徳永|1990|1p=98|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2p=20|合原・黒崎・高橋|1999|3p=31}}。広く認知されているカオスへのルートには、'''周期倍分岐ルート'''、'''間欠ルート'''、'''準周期崩壊ルート'''の3つがある{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=21}}。周期倍分岐ルートでは、周期アトラクターが有限のパラメータ範囲の中で[[周期倍分岐]]を無限回繰り返してカオスに至る{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=21}}。周期倍分岐とは {{Mvar|k}} 周期の安定閉軌道が {{Mvar|k}} 周期の不安定閉軌道と {{Math|2''k''}} 周期の安定閉軌道と分岐する現象で{{Sfn|グーリック|1995|p=48}}、無限の周期倍分岐の列は周期倍カスケードとして知られる{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|p=192}}。間欠ルートでは、カオス的不変集合を潜在的に伴っていた周期アトラクターがサドルノード分岐で消滅し、ストレンジアトラクターが現れる{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=21}}{{Sfn|徳永|1990|p=105}}。周期アトラクター消滅後にも、カオス軌道の中で元の周期的な振る舞いが一定時間ごとに（間欠的に）起こる特徴を持ち、このような振る舞いを間欠性カオスという{{Sfn|徳永|1990|p=104}}{{Sfn|佐野|2001|pp=69&ndash;70}}。準周期崩壊ルートとは、準周期アトラクターが位相ロッキングと呼ばれる振動数比の有理数化（すなわち周期アトラクター化）を経てカオスに至る道筋である{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=21}}{{Sfn|徳永|1990|pp=100&ndash;104}}。最終的なカオスへの遷移自体は、上記の周期倍カスケードや間欠カオスによって起こる{{Sfn|佐野|2001|pp=70&ndash;71}}{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=21}}。

 

:<math>\dot{x} = -y - z </math>

:<math>\dot{y} = x +a y </math>

で起こるものなどが知られる{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|pp=190&ndash;193}}{{Sfn|佐野|2001|p=67}}。

 

File:RosslerC4.svg | ''c'' = 4.0（1周期アトラクター）

File:RosslerC6.svg | ''c'' = 6.0（2周期アトラクター）

アトラクターの再構成を行う上でまず問題となるのは、埋め込み次元 {{Mvar|m}} と時間遅れ {{Mvar|&tau;}} をどう決めるのかである{{Sfn|Strogatz|2015|pp=480&ndash;481}}{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|pp=40, 49}}。埋め込み次元については、定理上は {{Math|''m'' > 2''d''}} であれば埋め込みであることが保証されるが、これは[[十分条件]]であり、{{Mvar|m}} がこれ以下でも埋め込みとなることはあり得る{{Sfn|合原（編）|2000|p=75}}。埋め込み次元が小さいと、再構成された曲線で摂動でも消えない自己交差が起き、1対1とならない{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012c|pp=160&ndash;161}}。しかし、埋め込み次元を大きく取り過ぎると、計算コストの問題や予測への悪影響が出てくる<ref name="鈴木"/>。そのため、先にアトラクターの次元を推定する<ref name="鈴木">{{Cite journal ja-jp |author = 鈴木 秀幸 |year = 1998 |title = Takensの埋め込み定理 |journal = 日本ファジィ学会誌 |volume = 10 |issue = 4 |publisher = 日本知能情報ファジィ学会 |doi = 10.3156/jfuzzy.10.4_82 |pages = 664&ndash;665 }}</ref>。カオス時系列の解析において標準的に利用されている手法は、ボックスカウント次元の代わりに[[相関次元]]を使うもので、{{仮リンク|ピーター・グラスバーガー|en|Peter Grassberger}}と{{仮リンク|イタマー・プロカッチャ|en|Itamar Procaccia}}が導入した[[GPアルゴリズム]]で比較的容易に相関次元を計算できる{{Sfn|合原（編）|2000|p=132}}{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|pp=55&ndash;56}}。埋め込み次元を増やしながら再構成したアトラクターの相関次元を計算し、相関次元の増加が頭打ちになったとき、このときの相関次元値をアトラクターの次元とし、このときの埋め込み次元を最適な {{Mvar|m}} 値とする{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=55}}。他には、アトラクター次元推定を行わずに、埋め込み次元が不足していることで生じる自己交差が解消される {{Mvar|m}} 値を設定された指標を使って推定する手法もある{{Sfn|合原（編）|2000|pp=75&ndash;80}}{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|pp=59&ndash;64}}。

 

 

===実現象への適用===

 

 

[[File:Trajectories of knee joint angle reconstructed in state space by delay embedding.png|thumb|center|650px|歩行中のひざ角度を実験測定し、時間遅れ座標系で再構成した例。TPWSは歩行のフルード数から計算される快適な歩行速度で、図はゆっくり歩いた実験結果（20% TPWS）から早く歩いた実験結果（180% TPWS）までを示す<ref>Raffalt, P., Guul, M., Nielsen, A. et al. Economy, Movement Dynamics, and Muscle Activity of Human Walking at Different Speeds. Sci Rep 7, 43986 (2017). https://doi.org/10.1038/srep43986</ref>。]]