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[[力学系]]における'''アトラクター'''（{{Lang-en|attractor|links=no}}）とは、[[時間発展]]する[[軌道 (力学系)|軌道]]を引き付ける性質を持った[[相空間]]上の領域である。アトラクター上の軌道の様相から、点アトラクター、周期アトラクター、準周期アトラクター、ストレンジアトラクターの4種類に分類される。アトラクターへ引き込まれる初期値の集まりはベイスンなどと呼ばれ、ベイスンからアトラクターへ落ちこむまでを過渡状態などと呼ぶ。
==背景、散逸系==
[[File:Phase space of a simple pendulum.gif|thumb|
何かの状態の[[時間発展]]が、規則にしたがって[[決定論]]的に一意的に決まっている系を[[力学系]]という{{Sfn|井上・秦|1999|p=5}}。一般に、力学系の振る舞いは「保存的」か「散逸的」かに分類できる{{Sfn|Jackson|1994|p=123}}。物理的な系として[[ばね]]や[[振り子]]の系を考えると、系に[[摩擦]]が無いときは[[力学的エネルギー]]が保存され続けるのに対して、系が摩擦があるときは力学的エネルギーは熱に変わって系から失われる{{Sfn|竹山|1992|p=30}}。前者のような系を[[保存系]]と呼び、後者のような系を[[散逸系]]と呼ぶ{{Sfn|竹山|1992|p=30}}。日常的に観測される実存の系の多くは散逸系といえる{{Sfnm|佐野|2001|1p=65|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2p=5}}。物理的な観点から言えば、散逸系はエネルギー的に開放されているのが特徴で、非平衡開放系とも呼ばれる{{Sfn|郡・森田|2011|p=16}}<ref name=北畑・吉川>{{Cite book ja-jp |author = 北畑 裕之・吉川 研一 |editor = 蔵本 由紀 |others = 三村 昌泰（監修）|title = リズム現象の世界 |url = http://www.utp.or.jp/book/b302449.html |chapter = 化学・生物の世界のリズム |publisher = 東京大学出版会 |year = 2002 |edition = 初版 |isbn = 4-13-064091-7 |pages = 1–2 }}</ref>。摩擦がある振り子は、時間が十分経つと静止する{{Sfn|伊東|1993|p=13}}。しかし散逸系であっても、エネルギーが流出すると同時に流入してバランスすると、最終的な運動が静止状態になるとは限らず、安定な[[振動]]状態を取ることもある{{Sfn|郡・森田|2011|p=16}}<ref name=北畑・吉川/>。
力学系の考え方では、対象とする状態を変数の組として表し、それを空間上の1点とみなす{{Sfn|金子|2009|pp=65–67}}。時間発展に従って動く空間上の点の軌跡は[[軌道 (力学系)|軌道]]と呼ばれ、状態の時間変化を表している{{Sfn|井上・秦|1999|p=65}}。状態の集まりである空間は[[相空間]]や[[状態空間]]と呼ばれる{{Sfn|徳永|1990|p=66}}。散逸系とは、数学的には、相空間の体積要素（2次元であれば[[面積]]、3次元であれば普通の意味での[[体積]]）が時間発展にともなって減少していく系を指す{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=20}}。散逸系では、相空間上の軌道がある一定の領域（状態の集まり）へ引き付けられる現象が存在する{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=102}}。このような領域をアトラクターと呼ぶ{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=102}}。一方の保存系では、アトラクターは存在しない{{Sfn|竹山|1992|p=39}}。
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==定義==
===吸引集合、アトラクター===
[[File:Diagram of attractor and basin.svg|thumb|290px|アトラクター ('''''A''''') とベイスン ('''''B''''') の概念図（実際の平面上のアトラクターは面積を持たないことに注意）]]
アトラクター（{{Lang-en|attractor|links=no}}）とは、「引き付ける」を意味する英語動詞 [[wikt:attract|attract]] から出来た言葉で{{Sfn|合原|1993|p=70}}、大雑把にいえば、アトラクターとは、その周りの[[軌道 (力学系)|軌道]]を引き付けるような性質をもった領域である{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=316}}。軌道がそのような領域まで引き付けられた後は、軌道はその領域内に留まり続ける{{Sfn|井上・秦|1999|p=21}}。
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微分方程式に[[独立変数]] {{Mvar|t}} を陽に含まない系を[[自励系|自励的]]という{{Sfn|小室|2005|p=17}}。{{Math|'''R'''}} 上の自励的な1次元連続力学系で存在可能なアトラクターは、点アトラクターのみである{{Sfnm|Strogatz|2015|1pp=32–33|伊東|1993|2p=80}}。
▲[[File:Phase space of a simple pendulum.gif|thumb|330px|減衰を受ける振子（左）は、相平面上の1点（右）に収束する。]]
点アトラクターの物理的な一例は、減衰を受ける[[振り子]]である{{Sfnm|伊東|1993|1p=13|合原|1993|2p=72}}。[[空気抵抗]]などの減衰を受けるとき、振り子は動きながらエネルギーを失い、最終的には静止する{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|p=124}}。振り子が速度に比例した減衰力を受けるとする。このとき、振り子の運動は次の2次元微分方程式系で表される{{Sfn|グーリック|1995|p=244}}。
:<math>\dot{x} = y </math>
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相空間上の[[軌道 (力学系)#特殊な軌道|周期軌道]]に収束するタイプのアトラクターを、'''周期アトラクター'''（{{Lang-en|periodic attractor|links=no}}）{{Sfnm|徳永|1990|p=70|小室|2005|2p=45}}<ref name="井庭・福原"/>や'''周期的アトラクター'''{{Sfn|Thompson & Stewart|1988|p=iii}}<ref name="郷原"/>という。
連続力学系では、周期軌道とは相空間上の1本の[[単純閉曲線]]であり、解はその線を沿って動き続ける{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|p=149}}。近傍の軌道が引き付けられる漸近安定な閉曲線と近傍の軌道が離れていく漸近不安定な閉曲線を、合わせて[[リミットサイクル]]と呼ぶ{{Sfn|郡・森田|2011|p=17}}。周期アトラクターとは漸近安定な[[リミットサイクル]]のことである{{Sfn|上田|2008|p=45}}。ただし、周期アトラクターを指して単に'''リミットサイクル'''と呼ぶこともある{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=15|伊東|1993|2p=14–15|小室|2005|3p=45}}<ref name="井庭・福原"/>
周期アトラクターの場合、自励的連続力学系では {{Math|'''R'''<sup>2</sup>}} 以上から存在する{{Sfnm|Strogatz|2015|1pp=12–13|伊東|1993|2p=80}}。周期アトラクターが現れる例として、次の[[ブラッセレーター|ブラッセレーター方程式]]がある{{Sfnm|Jackson|1994|1pp=288, 299|郡・森田|2011|2pp=20–22}}。
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:<math>\dot{y} = bx -x^2 y </math>
ブラッセレーターは、[[イリヤ・プリゴジン]]らが導入した化学の[[振動反応]]のモデルである{{Sfnm|Jackson|1994|1pp=288, 299|郡・森田|2011|2pp=20–22}}。{{Mvar|x}} と {{Mvar|y}} は時間変化する分子濃度を表す{{Sfn|郡・森田|2011|p=21}}。{{Mvar|a}} と {{Mvar|b}} も分子濃度を表すが、ここでは定常状態にあり、時間変化しない定数（パラメータ）だとする{{Sfn|郡・森田|2011|p=21}}。{{Math|(''a'', ''b'') {{=}} (1.0, 2.2)}} のとき、軌道が相平面上で閉曲線に接近していくのが観察できる{{Sfn|郡・森田|2011|p=22}}。
離散力学系も、漸近安定な周期軌道（[[周期点]]）が周期アトラクターに対応する<ref name="青木">{{Cite book ja-jp |author = 青木 統夫 |title = 力学系・カオス ―非線形現象の幾何学的構成 |url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320033405 |year = 1996 |edition = 初版 |publisher = 共立出版 |isbn = 4-320-03340-X }} p. 2</ref>。離散力学系の周期軌道とは、写像を[[反復合成写像|繰り返し合成]]したときにある繰り返し数で元の状態に戻る点列に相当する{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=338}}。
===準周期アトラクター===
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相空間上の[[準周期軌道]]に収束するタイプのアトラクターを、'''準周期アトラクター'''（{{Lang-en|quasi-periodic attractor|links=no}}）{{Sfnm|徳永|1990|1p=71|小室|2005|2p=45}}<ref name="井庭・福原"/>や'''概周期アトラクター'''<ref name="郷原">{{Cite journal ja-jp |author = 郷原 一寿 |year = 1996 |title = ダイナミカルシステムとしての生物 |journal = BME |volume = 10 |issue = 4 |publisher = 日本生体医工学会 |doi = 10.11239/jsmbe1987.10.4_3 |pages = 5–6 }}</ref><ref name="井庭・福原"/>という。
連続力学系では、準周期軌道とは相空間上の[[トーラス]]表面に巻きつく非閉曲線である{{Sfn|竹山|1992|p=44}}。準周期軌道はトーラス上を[[稠密集合|稠密]]に覆いつくし、ある点を通る準周期軌道はいくらでもその点の近くに戻って来る{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=122}}。準周期アトラクターを指して単に'''トーラス'''と呼ぶこともある{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=15|伊東|1993|2pp=14–15
自励的な連続力学系では、準周期アトラクターは {{Math|'''R'''<sup>3</sup>}} 以上の相空間に存在する{{Sfnm|徳永|1990|1p=70|伊東|1993|2p=15}}。[[ポアンカレ・ベンディクソンの定理]]によって、{{Math|'''R'''<sup>2</sup>}} の相空間には点アトラクターと周期アトラクターしか存在しないことが知られている{{Sfn|グーリック|1995|pp=240–241}}。準周期アトラクターが現れる例として、ウィリアム・ラングフォードがトーラスからカオスへの分岐を研究するために用いた次のラングフォード方程式が挙げられる{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=50|徳永|1990|2pp=70–71}}。
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:<math>\dot{z} = \lambda + \alpha z - \frac{z^3}{3} - (x^2+y^2)(1 + \rho z) + \epsilon z x^3 </math>
パラメータが {{Math|(''α'', ''β'', ''λ'', ''ω'', ''ρ'', ''ε'') {{=}} (1, 0.7, 0.6, 3.5, 0.25, 0)}} のとき、近傍の軌道がドーナツの形をした2次元トーラスに収束し、その上を閉じることなく回り続けることが観察できる{{Sfn|徳永|1990|pp=70–71}}。
離散力学系では、準周期軌道とは、[[閉包 (位相空間論)|閉包]]を取ると[[円 (数学)|円]]に[[同相]]で、なおかつその閉包上で写像が[[単調写像|単調]]であるような軌道として定義できる{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=2}}。
===ストレンジアトラクター===
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===複雑なベイスン===
[[File:Julia set for the rational function.png|thumb|310px|{{Math|''p''(''z'') {{=}} ''z''<sup>3</sup> − 1, ''z'' ∈ '''C'''}} に[[ニュートン法]]を適用してできるベイスンのフラクタル境界。点アトラクターは3つの点 {{Math|''z''<sub>1</sub> {{=}} 1}} と {{Math|''z''<sub>2</sub> {{=}} −1/2 + ''i''{{sqrt|3}}/2}} と {{Math|''z''<sub>3</sub> {{=}} −1/2 − ''i''{{sqrt|3}}/2}} であり{{Sfn|Falconer|2006|p=301}}、図では {{Math|''z''<sub>1</sub>}} のベイスンを赤色で、{{Math|''z''<sub>2</sub>}} のベイスンを緑色で、{{Math|''z''<sub>3</sub>}} のベイスンを青色で、ガウス平面を塗り分けている。]]
アトラクターが簡単な形であっても、そのベイスンの形が簡単とは限らない{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=104}}。特に、複数のアトラクター（ベイスン）が存在するときにはベイスン境界が[[フラクタル]]になることもある{{
:<math>z_{n+1} = z_n - \frac{p(z_n)}{p^{\prime}(z_n)} </math>
という複素平面上の離散力学系が定義できる{{Sfn|早間|2002|pp=204–205}}。この写像が {{Math|''n'' → ∞}} で収束する値は {{Math|''p''(''z'')}} の零点であり、力学系的には複素平面上の吸引不動点（点アトラクター）である{{
他の特殊で複雑なベイスンとしては'''リドルベイスン'''や'''リドルドベイスン'''（{{Lang-en|riddled basin|links=no}}）と呼ばれるものがある{{Sfnm|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012a|1p=188|早間|2002|2p=133|井上・秦|1999|3p=136}}。あるアトラクター ''A''<sub>1</sub> のベイスンを ''
===分岐現象、カオスへのルート===
[[File:Hopf-bif.gif|thumb|300px|[[ホップ分岐]]の例。パラメータの変化にともなってアトラクターが、点アトラクター → 周期アトラクター（青の閉曲線） → 点アトラクター と変化する。]]
系のパラメータ（微分方程式や写像の係数）が変わると、ある臨界値を境に系の定性的な振る舞いが変わることがある{{Sfnm|井上・秦|1999|1p=36|Strogatz|2015|2p=49}}。この現象を[[分岐 (力学系)|分岐]]という{{Sfnm|井上・秦|1999|1p=36|Strogatz|2015|2p=49}}。アトラクターやベイスンも分岐によって変化する{{
特に、単純な振る舞いがいくつかの分岐を経てカオス的振る舞いへ変わる道筋は、'''カオスへのルート'''（{{Lang-en|route to chaos|links=no}}）などと呼ばれる{{Sfnm|徳永|1990|1p=98|松本・徳永・宮野・徳田|2002|2p=20|合原・黒崎・高橋|1999|3p=31}}。広く認知されているカオスへのルートには、'''周期倍分岐ルート'''、'''間欠ルート'''、'''準周期崩壊ルート'''の3つがある{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=21}}。周期倍分岐ルートでは、周期アトラクターが有限のパラメータ範囲の中で[[周期倍分岐]]を無限回繰り返してカオスに至る{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=21}}。周期倍分岐とは {{Mvar|k}} 周期の安定閉軌道が {{Mvar|k}} 周期の不安定閉軌道と {{Math|2''k''}} 周期の安定閉軌道と分岐する現象で{{Sfn|グーリック|1995|p=48}}、無限の周期倍分岐の列は周期倍カスケードとして知られる{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|p=192}}。間欠ルートでは、カオス的不変集合を潜在的に伴っていた周期アトラクターがサドルノード分岐で消滅し、ストレンジアトラクターが現れる{{
特に周期倍分岐ルートはもっとも有名なカオス発生の道筋で、多数の低次元系で周期倍カスケードの例が見つかってきた{{
:<math>\dot{x} = -y - z </math>
:<math>\dot{y} = x +a y </math>
:<math>\dot{z} = b - cz + xz </math>
で起こるものなどが知られる{{
<gallery caption="レスラー方程式のアトラクターの分岐" mode="nolines" widths=250px heights=300px>
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時間発展の法則があらかじめ分かっている系であれば、数値計算からアトラクターを描くことは容易なことである{{Sfn|井上・秦|1999|p=75}}。しかし、実現象の実験データなどでは、その背後の時間発展法則は不明確なことが多い{{Sfn|井上・秦|1999|p=75}}。さらに、時間発展法則が推定できる場合でも、その系を構成する複数の状態変数の内の一部、極端には1つの状態変数しか測定できないことも多い{{Sfn|井上・秦|1999|p=75}}。このような状況の測定データから系の振る舞いを再構成する問題は、多くの工学者や科学者にとって重要な課題である{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=39}}。1つの状態変数の時系列データから系のアトラクターを再現する手法は'''アトラクターの再構成'''（{{Lang-en|attractor reconstruction|links=no}}）として知られ{{Sfnm|合原（編）|2000|1pp=9–10|Strogatz|2015|2p=478}}、特に、不規則的な時系列データについて決定論的な力学系の観点から解析を試みる上でアトラクターの再構成が解析の基礎となる<ref name="池口・合原">{{Cite journal ja-jp |author = 池口 徹・合原 一幸 |year = 1997 |title = 力学系の埋め込み定理と時系列データからのアトラクタ再構成 |journal = 応用数理 |volume = 7 |issue = 4 |publisher = 日本応用数理学会 |doi = 10.11540/bjsiam.7.4_260 |page = 261}}</ref>。
アトラクターの再構成のために現在広く利用されているのが、測定された時系列データを時間遅れ座標系へ変換する手法である{{
:<math> \boldsymbol{u}(t) = (u(t),\ u(t+\tau),\ u(t+2\tau),\cdots,\ u(t+(m-1)\tau))</math>
ここで、{{Mvar|m}} は'''埋め込み次元'''と呼ばれる{{Sfn|佐野|2001|p=94}}。時間遅れ {{Mvar|τ}} と埋め込み次元 {{Mvar|m}} を適切に選択すれば、時系列データを生んだ元の相空間のアトラクターの性質が、時間遅れ座標系によって作られるアトラクターに引き継がれる{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=49}}。
数学的には、いくつかの仮定のもとで、この時系列データから時間遅れ座標系への変換が[[埋め込み (数学)|埋め込み]]であることは、[[ターケンスの埋め込み定理]]およびそれを拡張させた定理によって保証されている<ref name="池口・合原"/>{{Sfn|合原（編）|2000|p=13}}。ここで埋め込みとは、[[可微分多様体|滑らかな多様体]] {{Mvar|M}} と[[滑らかな関数|滑らかな写像]] {{Math|''F'': ''M'' → '''R'''<sup>''n''</sup>}} が与えられたとき、{{Math|''F'': ''M'' → ''F''(''M'')}} が[[微分同相写像]]で、かつ全ての {{Math|''p'' ∈ ''M''}} において[[写像の微分|微分]] {{Math|''dF''(''p''): ''T<sub>p</sub>M'' → T<sub>''F''(''p'')</sub>)'''R'''<sup>''n''</sup>}} が[[単射|1対1]]であることを指す{{Sfn|合原（編）|2000|pp=17–18, 81}}。ただし、時系列解析分野では、この変換を使った手法自体を埋め込みと呼んだりもする{{
===埋め込み次元と時間遅れの最適化===
[[File:Reconstruction of Lorenz attractor by time delayed coordinates.png|thumb|270px|ローレンツアトラクターを {{Mvar|x}} 時系列から再構成した例。埋め込み次元 {{Math|''m'' {{=}} 3}}、時間遅れ {{Math|''τ'' {{=}} 0.05}} の場合。]]
アトラクターの再構成を行う上でまず問題となるのは、埋め込み次元 {{Mvar|m}} と時間遅れ {{Mvar|τ}} をどう決めるのかである{{
一方の時間遅れ {{Mvar|τ}} については、埋め込み定理上では任意でよく、値の設定に制限がない{{
===実現象への適用===
以上のような時間遅れ座標系への変換を利用した手法は、一般的な信号解析では把握が難しい現象、特にカオスが関わる複雑な非線形信号データの解明に有効な手法の一つである<ref>{{Cite book ja-jp |author = 馬杉 正男 |title = 信号解析 ―信号処理とデータ分析の基礎 |url = https://www.morikita.co.jp/books/mid/078631 |edition = 第1版 |publisher = 森北出版 |year= 2013 |isbn = 978-4-627-78631-8 }} pp. 107–108</ref>。実現象の実験測定データからアトラクターの再構成が成功した事例としては、化学振動反応の[[ベロウソフ・ジャボチンスキー反応]]でのストレンジアトラクターや2円筒間の[[テイラークエット流れ]]での準周期振動がある{{Sfn|伊東|1993|pp=70–79}}。
再構成の手法を使って様々な実現象の中にカオスの証拠を見出す問題が、これまでに取り組まれてきている{{Sfn|Strogatz|2015|p=482}}。再構成されたアトラクターを利用した
*{{Cite journal ja-jp |author = 広兼 道幸, 大江 眞紀子, 小西 日出幸, 鈴木 直人 |year = 2013 |title = 鋼橋の高力ボルト軸力診断へのカオス理論の適用に関する研究 |journal = 土木学会論文集F6（安全問題） |volume = 69 |issue = 2 |publisher = 土木学会 |doi = 10.2208/jscejsp.69.I_63 |pages = I_63-I_68 }}
*{{Cite journal ja-jp |author = 小川 敏弘, 関口 泰久, 中川 紀壽 |year = 2003 |title = カオス時系列解析を用いた転がり軸受の異常診断 |journal = 日本機械学会九州支部講演論文集 |volume = 2003 |publisher = 日本機械学会 |doi = 10.1299/jsmekyushu.2003.35 |pages = 35-36 }}
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