「グモウスキー・ミラの写像」の版間の差分
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グモウスキーは1960年代から70年代にかけてジュネーブの[[欧州原子核研究機構]]で、[[加速器]]と蓄積リングにおける不安定性を研究していた。加速器あるいは蓄積リング内での粒子の横方向の運動を表現するためのモデルとして、グモウスキーとミラは保存系の写像 ''f''<sub>1</sub> ならびに非線形項 ''g''<sub>1</sub> と ''g''<sub>2</sub> を導入した<ref name="ミラ"/>。準保存系 ''f''<sub>2</sub> とともに、グモウスキーとミラの1980年の著作にてこれらの写像とその計算結果が記された<ref name="Mira2014"/>。
==軌道、アトラクタ==
[[File:Attractor and orbit of GM map.png|thumb|
適当な初期条件 '''''x'''''<sub>0</sub> = (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>) を与え、写像を繰り返し適用することで離散力学系は ('''''x'''''<sub>0</sub>, '''''x'''''<sub>1</sub>, '''''x'''''<sub>2</sub>,...)という[[軌道 (力学系)|軌道]]を作る<ref name="小室"/>。軌道は相平面（x-y平面）上で点列となる。グモウスキー・ミラの写像はあるパラメータ範囲で[[ストレンジアトラクタ]]を持っている<ref name="ミラ"/>。周りの軌道を吸引する部分空間があり、その部分空間上で軌道は非周期で[[バタフライ効果|初期値に鋭敏な]]点列である。一方で、その部分空間自体は不変で一定の形状を有している。このような部分空間をストレンジアトラクタと呼ぶ<ref>{{Cite book ja-jp |author = 井庭 崇・福原 義久 |year= 1998年 |title = 複雑系入門―知のフロンティアへの冒険 |url = https://www.nttpub.co.jp/search/books/detail/100000834 |publisher = NTT出版 |edition=初版 |isbn = 4-87188-560-7}} pp. 69–74</ref>。
グモウスキー・ミラの写像は多種多様な形状のストレンジアトラクタが現れることで知られる<ref name="Ambika"/><ref name="合原ら"/>。グモウスキー・ミラの写像は美的な創作にも利用されてきた<ref name="Mira2017">{{Cite report |author= Christian Mira |year= 2017 |title= ARE MATHEMATICS A SOURCE OF ARTISTIC CREATION? INCURSION INTO MAPS PROPERTIES |url= https://www.researchgate.net/publication/312174305_ARE_MATHEMATICS_A_SOURCE_OF_ARTISTIC_CREATION_INCURSION_INTO_MAPS_PROPERTIES |publisher= ResearchGate }}</ref>。特に、''f''<sub>2</sub> と ''g''<sub>1</sub> から成る写像における鳥の羽のようなアトラクタは有名で、パラメータ (''α'', ''σ'', ''μ'') が (0.008, 0.05, −0.496) のときには3枚羽の翼が、 (0.009, 0.05, −0.801)<ref>正確には ''μ'' は cos(4''π''/5) + 0.008 という値（ミラ「グモフスキーとトゥルーズ研究グループのカオス力学前史」2002. p. 127）。</ref> のときには5枚羽の翼が描かれる<ref name="高橋ら"/><ref name="川上">{{Cite book ja-jp |title = カオスCGコレクション |url = https://www.saiensu.co.jp/search/?isbn=978-4-7819-0591-4&y=1990 |series = Information & Computing 48 |author = 川上 博 |publisher = サイエンス社 |year = 1990 |edition = 初版 |isbn = 978-4-7819-0591-4 }} pp. 33, 97</ref>。ミラはこれらを「神話の鳥 (mythic bird)」と名付けた<ref name="川上"/><ref name="Mira2017"/>。
パラメータの値によってはストレンジアトラクタ以外のアトラクタも現れ、安定な[[周期点]]のアトラクタも現れる<ref name="Ambika"/>。パラメータの値に応じて解の振る舞いが定性的に変化することを力学系では[[分岐 (力学系)|分岐]]と呼ぶ<ref name="早間"/>。
<gallery caption="散逸系のグモウスキー・ミラの写像のアトラクタ" mode="nolines" widths="
File:GM map phase space plot 1.png|''f''<sub>2</sub>-''g''<sub>1</sub>, ''α'' = 0.008, ''σ'' = 0.05, ''μ'' = −0.496
File:GM map phase space plot 2.png|''f''<sub>2</sub>-''g''<sub>1</sub>, ''α'' = 0.009, ''σ'' = 0.05, ''μ'' = −0.801
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File:GM map phase space plot 5.png|''f''<sub>2</sub>-''g''<sub>2</sub>, ''α'' = 0.01, ''σ'' = 0.1, ''μ'' = 0.8
File:GM map phase space plot 6.png|''f''<sub>2</sub>-''g''<sub>2</sub>, ''α'' = 0.07, ''σ'' = 0.0075, ''μ'' = −0.43<br />（25個の周期点）
File:GM map phase space plot 7.png|''f''<sub>1</sub>-''g''<sub>1</sub>, ''μ'' = 0.39▼
File:GM map phase space plot 8.png|''f''<sub>1</sub>-''g''<sub>1</sub>, ''μ'' = 0.365▼
File:GM map phase space plot 9.png|''f''<sub>1</sub>-''g''<sub>1</sub>, ''μ'' = 0.34▼
</gallery>
<gallery caption="保存系のグモウスキー・ミラの写像の軌道" mode="nolines" widths="300" heights="300">
▲File:GM map phase space plot 7.png|''f''<sub>1</sub>-''g''<sub>1</sub>, ''μ'' = 0.39, ''x''<sub>0</sub> = 1, ''y''<sub>0</sub> = 1
▲File:GM map phase space plot 8.png|''f''<sub>1</sub>-''g''<sub>1</sub>, ''μ'' = 0.365, ''x''<sub>0</sub> = 1, ''y''<sub>0</sub> = 1
▲File:GM map phase space plot 9.png|''f''<sub>1</sub>-''g''<sub>1</sub>, ''μ'' = 0.34, ''x''<sub>0</sub> = 1, ''y''<sub>0</sub> = 1
</gallery>
==特殊な過渡的振る舞い
アトラクタが存在する場合、軌道は十分な時間経過後にアトラクタに落ち着く。初期条件からアトラクタに引き付けられるまでの軌道を「過渡状態」などという<ref>{{Cite book ja-jp |author = 船越 満明 |title = カオス |url = http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11613-7/ |series = シリーズ 非線形科学入門3 |publisher = 朝倉書店 |year = 2008 |edition = 初版 |isbn=978-4-254-11613-7 }} pp.83–84</ref>。グモウスキー・ミラの写像の振る舞いの一つとして、過渡状態の軌道が[[ロジスティック写像]]の分岐図のような軌道を取ることがある<ref name="合原ら"/>。ロジスティック写像は
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