「エネルギー・運動量テンソル」の版間の差分
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*<math>T^\nu_\mu := \frac{\partial\mathcal{L}}{ \partial(\partial_\nu\phi)} \partial_\mu\phi - \delta^\nu_\mu \mathcal{L}</math>
となる。この定義には任意性があり、<math>h_\mu{}^{\nu\rho} = -h_\mu{}^{\rho\nu}</math> により
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<math>T^\nu_\mu \to T^\nu_\mu +\partial_\rho h_\mu{}^{\nu\rho}</math>
}}
で置き換えることができる。この任意性によりエネルギー・運動量テンソルは対称テンソルとして定義される。
別の定義の仕方として、時空の[[計量]]
一般相対性理論においては時空の計量 {{mvar|g}} が力学変数となる。作用汎関数が
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}}
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<math>\begin{aligned}
+\frac{1}{c} \mathcal{L}\, \frac{\partial\sqrt{-g}}{\partial g_{\mu\nu}} \\
+\frac{1}{2} g^{\mu\nu} \mathcal{L} \right] \sqrt{-g} \\
\end{aligned}</math>
}}
である。従って、エネルギー運動量テンソルは
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}}
▲:<math>S[g,\phi] = \int d^4x\, \mathcal{L}(g,\partial g,\phi,\partial\phi)</math>
▲と書かれているとき、計量の変分
▲:<math>g^{\mu\nu}(x) \to g'^{\mu\nu}(x)=g^{\mu\nu}(x)+\delta g^{\mu\nu}(x)</math>
▲:<math>\frac{1}{2}\sqrt{-g}T_{\mu\nu}
▲ = \frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}(x)}
▲ = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial g^{\mu\nu}}
▲ -\partial_\alpha \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha g^{\mu\nu})}</math>
▲で定義される。
<!-- これら二つの定義は、[[一般相対性理論]]により、時空の並進
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