「エネルギー・運動量テンソル」の版間の差分

*空間-時間成分、即ち <math>T^{i0}\,</math> は、i-成分の運動量密度である。
*空間成分、即ち <math>T^{ij}\,</math> は、<math>x^j\,</math>の方向への i-成分の運動量の流れである。
 
== 相対論的粒子 ==
相対論的粒子の系を記述する作用汎関数は
{{Indent|
<math> \begin{aligned}
S[g,X,\gamma] &=\frac{1}{2}\int \sum_i \left(
\frac{1}{{\gamma_i}^2}g_{\mu\nu}(X_i)\, \dot{X}_i^\mu \dot{X}_i^\nu
-m_i^2c^2 \right) \gamma_i(\lambda)\, d\lambda \\
&=\frac{1}{2} \int d^4x \int \sum_i \left(
\frac{1}{{\gamma_i}^2}g_{\mu\nu}(x)\, \dot{X}_i^\mu \dot{X}_i^\nu
-m_i^2c^2 \right) \delta^4(X_i -x)\, \gamma_i(\lambda)\, d\lambda \\
\end{aligned} </math>
}}
であり、ここからエネルギー・運動量テンソルが
{{Indent|
<math>T^{\mu\nu}(x) =\frac{2c}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S[g,X,\gamma]}{\delta g_{\mu\nu}(x)}
=\frac{c}{\sqrt{-g}} \int \sum_i \frac{1}{\gamma_i} \dot{X}_i^\mu \dot{X}_i^\nu
\delta^4(X_i -x)\, d\lambda</math>
}}
と導かれる。補助変数 {{mvar|&gamma;{{sub|i}}}} から導かれる拘束条件 <math>\gamma =\frac{1}{m_i}\frac{d\tau_i}{d\lambda}</math> を用いれば
{{Indent|
<math>T^{\mu\nu}(x) =\frac{1}{\sqrt{-g}} \sum_i m_ic \int u_i^\mu u_i^\nu \delta^4(X_i -x)\, d\tau_i</math>
}}
となる。
 
== 完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル ==
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