「利用者:YasuakiH/Weibull distribution」の版間の差分
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:<math>h(t)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{R(t)-R(t+\Delta t)}{\Delta t \cdot R(t)}.</math>
故障率をより小さな時間間隔で計算すると、'''{{visible anchor|ハザード関数}}'''（hazard function、ハザード率（hazard rate）とも呼ばれる） <math>h(t)</math> が得られる。これは、<math>\Delta t </math> がゼロに近づくにつれて、瞬間故障率（instantaneous failure rate）、あるいは瞬間ハザード率（instantaneous hazard rate）と言う。
:<math>h(t)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{R(t)-R(t+\Delta t)}{\Delta t \cdot R(t)}.</math>
A continuous failure rate depends on the existence of a '''failure distribution''', <math>F(t)</math>, which is a [[:en:cumulative distribution function|cumulative distribution function]] that describes the probability of failure (at least) up to and including time ''t'',
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:<math>h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}=\frac{f(t)}{R(t)}.</math>
[[File:Exponential pdf.svg|thumb|right|300px|Exponential failure density functions. Each of these has a (different) constant hazard function (see text).]]▼
連続故障率は、'''故障分布'''（failure distribution） <math>F(t)</math> の存在に依存する。<math>F(t)</math>は、時刻 ''<math>t</math>'' までの（少なくとも）故障の確率を表す[[累積分布関数]]（cumulative distribution function、CDF）で、
:<math>\operatorname{Pr}(T\le t)=F(t)=1-R(t),\quad t\ge 0 \!</math> である。
ここで、<math>{T}</math> は故障時間である。故障分布関数は、故障密度関数 <math>f(t)</math> の積分であり、
:<math>F(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\, d\tau \!</math> となる。
ハザード関数は、
:<math>h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}=\frac{f(t)}{R(t)}</math> と定義できる。
▲[[File:Exponential pdf.svg|thumb|right|300px|Exponential failure density functions. Each of these has a (different) constant hazard function (see text).
指数型故障密度関数。これらはそれぞれ（異なる）一定のハザード関数を持っている（本文参照）。]]
Many probability distributions can be used to model the failure distribution (''see [[:en:List of probability distributions|List of important probability distributions]]''). A common model is the '''exponential failure distribution''',
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:<math>h(t) = \frac{f(t)}{R(t)} = \frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}} = \lambda .</math>
故障分布のモデル化では、多くの確率分布を用いることができる（{{仮リンク|確率分布のリスト|en|List of probability distributions}}を参照）。一般的なモデルは、[[指数分布|指数密度関数]]に基づく'''指数故障分布'''、
:<math>F(t)=\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda \tau}\, d\tau = 1 - e^{-\lambda t} \!</math> である。
これに対するハザード率関数は、
:<math>h(t) = \frac{f(t)}{R(t)} = \frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}} = \lambda </math> となる。
Thus, for an exponential failure distribution, the hazard rate is a constant with respect to time (that is, the distribution is "[[:en:memorylessness|memory-less]]"). For other distributions, such as a [[:en:Weibull distribution|Weibull distribution]] or a [[:en:log-normal distribution|log-normal distribution]], the hazard function may not be constant with respect to time. For some such as the [[:en:deterministic distribution|deterministic distribution]] it is [[:en:monotonic|monotonic]] increasing (analogous to [[:en:Wear and tear|"wearing out"]]), for others such as the [[:en:Pareto distribution|Pareto distribution]] it is monotonic decreasing (analogous to [[:en:Burn-in|"burning in"]]), while for many it is not monotonic.
このように、指数故障分布では、ハザード率は時間に対して一定である（つまり「{{仮リンク|無記憶性|en|Memorylessness}}」分布）。[[ワイブル分布]]や[[対数正規分布]]のような他の分布では、ハザード関数は時間に対して一定ではない場合がある。[[退化分布|確定的分布]]などの一部では[[単調増加]]であり（「[[摩耗]]」に類似）、[[パレート分布]]などの他の分布では単調減少であるが（「{{仮リンク|バーンイン|en|Burn-in}}」に類似）、多くの場合は単調ではない。
Solving the differential equation
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:<math>F(t) = 1 - \exp{\left(-\int_0^t h(t) dt \right)}.</math>
微分方程式
:<math>h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}=\frac{F'(t)}{1-F(t)}</math>
を <math>F(t)</math> について解くと、
:<math>F(t) = 1 - \exp{\left(-\int_0^t h(t) dt \right)}</math> であることがわかる。
== 故障率の低減/Decreasing failure rate ==
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