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故障率 <math>\lambda (t)</math> は、しばしば時間 <math>t</math> 以前に故障がない場合に特定の間隔で故障が発生する[[確率]]と考えられがちだが、1を超えることもあるので実際には確率ではない。故障率を誤ってパーセント（%）で表現すると、特に修理可能なシステム、故障率が一定型でないシステム、または動作時間が異なる複数のシステムについて測定する場合に、この尺度を正しく認識できない可能性がある。故障率 <math>\lambda (t)</math> は、[[信頼性関数]] <math>R(t)=1-F(t)</math> （時刻 <math>t</math> 以前に故障が発生しない確率。'''生存関数'''とも呼ばれる）を用いて次のように定義される。
 
::<math>\lambda(t) = \frac{f(t)}{R(t)}</math>,
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Hazard rate and ROCOF (rate of occurrence of failures) are often incorrectly seen as the same and equal to the failure rate. {{clarify|date=April 2015}} To clarify; the more promptly items are repaired, the sooner they will break again, so the higher the ROCOF. The hazard rate is however independent of the time to repair and of the logistic delay time.▼
 
▲Hazard rate and ROCOF (rate of occurrence of failures) are often incorrectly seen as the same and equal to the failure rate. {{clarify|date=April 2015}} To clarify; the more promptly items are repaired, the sooner they will break again, so the higher the ROCOF. The hazard rate is however independent of the time to repair and of the logistic delay time.
ハザード率（後述）とROCOF（rate of occurrence of failures、故障発生率）は、しばしば故障率と同じものと誤解されることがある。違いを明確にするならば、アイテムの修理が早ければ早いほど、またすぐに壊れるので、ROCOFは高くなる。しかし、ハザード率は、修復時間や物流遅延時間には依存しない。▼
 
▲ハザード率（後述）とROCOF（rate of occurrence of failures、故障発生率）は、しばしば故障率と同じものと誤解されることがある{{clarify|date=April 2015}}。違いを明確にするならば、アイテムの修理が早ければ早いほど、またすぐに壊れるので、ROCOFは高くなる。しかし、ハザード率は、修復時間や物流遅延時間には依存しない。
 
 
 
== 連続的な意味での故障率/Failure rate in the continuous sense ==
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故障率をより小さな時間間隔で計算すると、'''{{visible anchor|ハザード関数}}'''（hazard function、'''ハザード率'''（hazard rate）とも呼ばれる） <math>h(t)</math> が得られる。これは、<math>\Delta t </math> がゼロに近づくにつれて、これが、瞬間故障率（instantaneous failure rate）、あるいは瞬間ハザード率（instantaneous hazard rate）と言う呼ばれるものになる。
 
:<math>h(t)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{R(t)-R(t+\Delta t)}{\Delta t \cdot R(t)}.</math>
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A continuous failure rate depends on the existence of a '''failure distribution''', <math>F(t)</math>, which is a [[:en:cumulative distribution function|cumulative distribution function]] that describes the probability of failure (at least) up to and including time ''t'',
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連続故障率は、'''故障分布'''（failure distribution） <math>F(t)</math> の存在に依存する。<math>F(t)</math>は、時刻 ''<math>t</math>'' までの（少なくとも）の故障の確率 <math>\operatorname{Pr}(T\le t)</math> を表す[[累積分布関数|累積分布型]]（cumulativeの'''故障分布関数''' distribution<math>F(t)</math> function、CDF）でに依存しており、
:<math>\operatorname{Pr}(T\le t)=F(t)=1-R(t),\quad t\ge 0 \!</math> である。
 
ここで、<math>{T}</math> は故障時間である。故障分布関数は、故障密度関数 <math>f(t)</math> の積分であり、▼
:と表される。ここに <math>F(t)=\int_{0T}^{t} f(\tau)\, d\tau \!</math> となは故障時間である。
ハザード関数は、▼
:<math>h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}=\frac{f(t)}{R(t)}</math> と定義できる。▼
 
▲ここで、<math>{T}</math> は故障時間である。の故障分布関数は、故障密度関数 <math>f(t)</math> の積分であり、
:<math>F(t)=\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda f(\tau})\, d\tau = 1 - e^{-\lambda t} \!</math> である。▼
▲と得られる。これによりハザード関数は、
▲:<math>h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}=\frac{f(t)}{R(t)}</math> と定義できる。
 
と定義できる。ーーーー
 
[[File:Exponential pdf.svg|thumb|right|300px|Exponential failure density functions. Each of these has a (different) constant hazard function (see text).
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指数型故障密度関数。これらはそれぞれ（異なる）一定型のハザード関数を持っている（本文参照）。]]
Many probability distributions can be used to model the failure distribution (''see [[:en:List of probability distributions|List of important probability distributions]]''). A common model is the '''exponential failure distribution''',
 
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故障分布のモデル化でにおいては、多くの確率分布を用いることができる（{{仮リンク|確率分布のリスト|en|List of probability distributions}}を参照）。一般的なモデルは、[[指数分布|指数密度関数]]に基づく'''指数故障分布'''、
 
一般的なモデルは、[[指数分布|指数密度関数]]に基づく'''指数故障分布'''、
▲:<math>F(t)=\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda \tau}\, d\tau = 1 - e^{-\lambda t} \!</math> である。
 
:<math>F(t)=\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda \tau}\, d\tau = 1 - e^{-\lambda t} \!</math>
:である。
これに対するハザード率関数は、
:<math>h(t) = \frac{f(t)}{R(t)} = \frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}} = \lambda </math> となる。
:である。
 
 
 
 
 
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Thus, for an exponential failure distribution, the hazard rate is a constant with respect to time (that is, the distribution is "[[:en:memorylessness|memory-less]]"). For other distributions, such as a [[:en:Weibull distribution|Weibull distribution]] or a [[:en:log-normal distribution|log-normal distribution]], the hazard function may not be constant with respect to time. For some such as the [[:en:deterministic distribution|deterministic distribution]] it is [[:en:monotonic|monotonic]] increasing (analogous to [[:en:Wear and tear|"wearing out"]]), for others such as the [[:en:Pareto distribution|Pareto distribution]] it is monotonic decreasing (analogous to [[:en:Burn-in|"burning in"]]), while for many it is not monotonic.
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Solving the differential equation
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== 故障率減少型/Decreasing failure rate ==▼
 
 
 
 
 
 
 
▲== 故障率減少/Decreasing failure rate ==
A decreasing failure rate (DFR) describes a phenomenon where the probability of an event in a fixed time interval in the future decreases over time. A decreasing failure rate can describe a period of "infant mortality" where earlier failures are eliminated or corrected<ref>{{Cite book | doi = 10.1007/978-1-84800-986-8_1 | chapter = Introduction | first = Maxim | last = Finkelstein| title = Failure Rate Modelling for Reliability and Risk | series = Springer Series in Reliability Engineering | pages = 1–84 | year = 2008 | isbn = 978-1-84800-985-1 }}</ref> and corresponds to the situation where λ(''t'') is a [[:en:decreasing function|decreasing function]].
 
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{{Main|故障率曲線}}
 
故障率減少型（decreasing failure rate、DFR）とは、ある事象が将来の一定の時間間隔で発生する確率が、時間の経過とともに減少していく現象を表す。故障率減少型は、初期に起こる故障が解消または修正される「初期故障」の期間を表すことができ、λ(t) が[[減少|減少関数]]である状況に対応する。▼
 
 
▲故障率減少（decreasing failure rate、DFR）とは、ある事象が将来の一定の時間間隔で発生する確率が、時間の経過とともに減少していく現象を表す。故障率減少は、初期に起こる故障が解消または修正される「初期故障」の期間を表すことができ、λ(t) が[[減少|減少関数]]である状況に対応する。
 
DFR変数の混合<!-- mixtures -->はDFRである。[[指数分布]]確率変数の混合は、{{仮リンク|超指数分布|en|Hyperexponential distribution}}である。
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=== 再生過程 ===
DFR再生関数を持った{{仮リンク|再生理論|en|Renewal theory|label=再生過程}}（renewal processes）では、再生間時間<!--inter-renewal times-->は凹になる{{訳語疑問点|date=2021年10}}。Brownは逆に、再生間時間が凹になるためにはDFRが必要であると推測したが、この推測は離散的な場合にも連続的な場合にも成り立たないことが示されている。
 
 
 
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=== 用途 ===
故障率増加型（Increasing failure rate、IFR）は、部品が消耗することによって起こる直感的な概念である。故障率減少型は、経年変化によって改善されるシステムを表す。宇宙船の寿命においても故障率減少型が見られ、BakerとBakerは『最後に残ったこれらの宇宙船は、延々と続く』（"These spacecraft that last, last on and on."）とコメントしている。航空機の空調システムの信頼性は、個々に指数分布を持つことが分かっており、プールされた母集団ではDFRとなる。
 
 
 
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FITとMTBFの関係は次のように表される。
:MTBF = 1,000,000,000 × 1/FIT
 
 
===Additivity===
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=== 加法性 ===
ある種の工学的な仮定（たとえば、一定の故障率一定型に関する上記の仮定に加えて、考慮されるシステムには関連する[[冗長性]]がないという仮定）の下では、複雑な[[システム]]の故障率は、単位が一貫している限り、その構成要素の個々の故障率の単純な合計となる（たとえば、100万時間当たりの故障数）。これにより、個々の構成要素またはサブシステムをテストすることが可能になり、それらの故障率を加算してシステム全体の故障率を得ることができる。
 
[[単一故障点]]をなくすために「冗長」部品を追加すると、ミッション故障率<!-- mission failure rate -->は改善するが、直列故障率<!-- series failure rate -->（ロジスティクス故障率とも呼ばれる）は悪化する。つまり、追加の部品は平均重大故障間隔（mean time between critical failures、MTBCF）を改善させる反面、何かが故障するまでの平均時間は悪化する。
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