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The '''logrank test''', or '''log-rank test''', is a [[:en:hypothesis test|hypothesis test]] to compare the [[:en:survival analysis|survival]] distributions of two samples. It is a [[:en:nonparametric|nonparametric]] test and appropriate to use when the data are right skewed and [[:en:Censoring (statistics)|censored]] (technically, the censoring must be non-informative). It is widely used in [[:en:clinical trials|clinical trials]] to establish the efficacy of a new treatment in comparison with a control treatment when the measurement is the time to event (such as the time from initial treatment to a heart attack). The test is sometimes called the '''Mantel–Cox test''', named after [[:en:Nathan Mantel|Nathan Mantel]] and [[:en:David Cox (statistician)|David Cox]]. The logrank test can also be viewed as a time-stratified [[:en:Cochran–Mantel–Haenszel statistics|Cochran–Mantel–Haenszel test]].
'''ログランク検定'''（ログランクけんてい、{{Lang-en-short|log-rank test}}）は、2つの[[標本 (統計学)|標本]]の[[生存分析|生存]]分布を比較するための[[仮説検定]]である。これは[[ノンパラメトリック手法|ノンパラメトリック]]検定で、データが右に歪んで打ち切られている場合に使用するのが適切である（技術的には、打ち切りは情報を与えないものでなければならない）。この検定は、事象発生までの時間（初回治療から心臓発作までの時間など）を測定する場合、対照治療と比較して新しい治療の有効性を確立するために、[[臨床試験]]で広く使用されている。この検定は、{{仮リンク|ネイサン＝マンテル|en|Nathan Mantel}}と{{仮リンク|デイヴィッド・コックス (統計学者)|en|David Cox (statistician)|label=デイヴィッド＝コックス}}にちなんで名付けられた'''マンテル＝コックス検定'''と呼ばれることもある。ログランク検定は、時間層化された[[コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量|コクラン＝マンテル＝ヘンツェル検定]]と見なすこともできる。
The test was first proposed by [[:en:Nathan Mantel|Nathan Mantel]] and was named the ''logrank test'' by [[:en:Richard Peto|Richard]] and [[:en:Julian Peto|Julian Peto]].
この検定は、ネイサン＝マンテルによって最初に提案され、[[リチャード・ピート|リチャード]]と{{仮リンク|ジュリアン＝ピート|en|Julian Peto}}によってログランク検定と命名された
| author = Mantel, Nathan |author-link=Nathan Mantel
| year = 1966
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{{Cite book| title=Encyclopedia of Biostatistics | chapter=Linear Rank Tests in Survival Analysis
| first=David |last=Harrington|doi=10.1002/0470011815.b2a11047 |year=2005| publisher=Wiley Interscience| isbn=047084907X
}}</ref>。
▲この検定は、ネイサン＝マンテルによって最初に提案され、[[リチャード・ピート|リチャード]]と{{仮リンク|ジュリアン＝ピート|en|Julian Peto}}によってログランク検定と命名された。
==定義==
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By the [[:en:central limit theorem#Lyapunov CLT|central limit theorem]], the distribution of <math>Z</math> converges to that of a standard normal distribution as <math>J</math> approaches infinity and therefore can be approximated by the standard normal distribution for a sufficiently large <math>J</math>. An improved approximation can be obtained by equating this quantity to Pearson type I or II (beta) distributions with matching first four moments, as described in Appendix B of the Peto and Peto paper.
[[中心極限定理]]により、<math>Z</math> の分布は、<math>J</math> が無限に近づくにつれて標準正規分布の分布に収束するため、十分に大きな <math>J</math> に対しては標準正規分布で近似できる。Peto and Petoの論文の付録Bで記述されているように、この量をピアソンのタイプIまたはII（ベータ）分布に最初の4つのモーメントを一致させて等しくすることにより、より良い近似が得られる<ref name="Peto1972" />。
== 漸近分布/Asymptotic distribution ==
If the two groups have the same survival function, the logrank statistic is approximately standard normal. A one-sided level <math>\alpha</math> test will reject the null hypothesis if <math>Z>z_\alpha</math> where <math>z_\alpha</math> is the upper <math>\alpha</math> quantile of the standard normal distribution. If the hazard ratio is <math>\lambda</math>, there are <math>n</math> total subjects, <math>d</math> is the probability a subject in either group will eventually have an event (so that <math>nd</math> is the expected number of events at the time of the analysis), and the proportion of subjects randomized to each group is 50%, then the logrank statistic is approximately normal with mean <math> (\log{\lambda}) \, \sqrt {\frac {n \, d} {4}} </math> and variance 1.
<math> n = \frac {4 \, (z_\alpha + z_\beta)^2 } {d\log^2{\lambda}}</math>
where <math>z_\alpha</math> and <math>z_\beta</math> are the quantiles of the standard normal distribution.
2つのグループが同じ生存関数を持つ場合、ログランク統計量は近似的に標準正規分布になる。片側レベル <math>\alpha</math> 検定は、<math>Z>z_\alpha</math> なら帰無仮説を棄却する。ここで <math>z_\alpha</math> は、標準正規分布の上位 <math>\alpha</math> 分位点である。ハザード比が <math>\lambda</math>、被験者総数が <math>n</math> 人、どちらかの群の被験者が最終的に事象を起こす確率が <math>d</math> （したがって、<math>nd</math> は分析時の事象の期待数）、各群に無作為に割り振られた被験者の割合が50%の場合、ログランク統計量は平均 <math> (\log{\lambda}) \, \sqrt {\frac {n \, d} {4}} </math>、分散 1 の近似正規分布となる<ref>{{cite journal | last=Schoenfeld | first=D | year=1981 | title=The asymptotic properties of nonparametric tests for comparing survival distributions | journal=Biometrika | volume=68 | issue=1 | pages=316–319 | jstor=2335833 | doi=10.1093/biomet/68.1.316}}</ref>。検出力 <math>1-\beta</math> の片側レベル <math>\alpha</math> 検定の場合、必要な標本サイズは <math> n = \frac {4 \, (z_\alpha + z_\beta)^2 } {d\log^2{\lambda}}</math> で、ここ
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== 検定の仮定/Test assumptions ==
The logrank test is based on the same assumptions as the [[:en:Kaplan–Meier estimator|Kaplan-Meier]] survival curve—namely, that censoring is unrelated to prognosis, the survival probabilities are the same for subjects recruited early and late in the study, and the events happened at the times specified. Deviations from these assumptions matter most if they are satisfied differently in the groups being compared, for example if censoring is more likely in one group than another.
ログランク検定は、[[カプラン＝マイヤー推定量|カプラン＝マイヤー生存曲線]]と同じ仮定に基づいている。すなわち、打ち切りは予後とは無関係であり、生存確率は研究の初期と後期に募集された被験者で同じであり、事象は指定された時間に起こったという仮定である。これらの仮定からの逸脱は、たとえば、あるグループでは打ち切りが他のグループよりも起こりやすいなど、比較されるグループ間で満足度が異なる場合に最も重要となる<ref>{{Cite journal | year = 2004 | pages = 1073 | pmid = 15117797 | pmc = 403858 | doi = 10.1136/bmj.328.7447.1073 | issue = 7447 | volume = 328 | last2 = Altman | first1 = J. M. | first2 = D. G. | author-link1=Martin Bland| title = The logrank test | journal = BMJ | last1 = Bland| author-link2=Doug Altman}}</ref>。
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== 参照項目 ==
{{Portal|数学}}
*[[生存分析]]
*[[カプラン＝マイヤー推定量]]
*{{仮リンク|ハザード比|en|Hazard ratio}}
142 ⟶ 143行目:
{{Statistics|analysis}}
{{DEFAULTSORT:
[[Category:
[[Category:
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