「エルミート作用素」の版間の差分

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== 定義 ==
[[内積|エルミート内積]] {{math|⟨•, •⟩}} を備えた複素[[ヒルベルト空間]] {{math|''H''}} 上の[[線型作用素]] {{math|''h''}}任意の {{math|1=''ξ'', ''η'' ∈ ''D''(''H'')}} について
: <math>\langle h\xi, \eta \rangle = \langle \xi, h\eta \rangle</math> (for any &xi;, &eta; &isin; ''D(H)'')
を満たすとき、''h'' は内積〈•, •〉に関する'''エルミート作用素'''と呼ばれる。
 
: <math display="block">\langle h\xi, \eta \rangle = \langle \xi, h\eta \rangle</math> (for any &xi;, &eta; &isin; ''D(H)'')
無限次元ヒルベルト空間 ''H'' の稠密な部分空間 ''D'' 上で定義された線形作用素 ''h'' は、
 
: &xi;, &eta; &isin; ''D'' について、<math>\langle \xi, h \eta \rangle = \langle h \xi, \eta \rangle</math>
を満たすとき場合作用素 {{math|''h''}} は内積 {{math|&lang;•, •&rang;}} に関する'''エルミート作用素'''と呼ばれる。
が成立しているときに'''対称'''作用素 (symmetric operator) と呼ばれる。このような対称作用素 ''h'' についてさらに、
 
: { <math>\xi \in H \, \colon \, \eta \to \langle \xi, h \eta \rangle</math> が ''D'' 上有界 } = ''D''
無限次元ヒルベルト空間 {{math|''H''}}[[稠密集合|稠密]]な部分空間 {{math|''D''}} 上で定義された線作用素 {{math|''h''}} が {{math|1=''&xi;'', ''&eta;'' &isin; ''D''}} は、について
が成立しているときに ''h'' は'''自己共役''' (''self-adjoint'') であるといわれる。自己共役というのは、一般に[[内積空間]]で
 
: <math>\langle \psi^*\xi, \eta \rangle = \langle \xi, \psi\eta \rangle</math>
: &xi;, &eta; &isin; ''D'' について、<math display="block">\langle \xi, h \eta \rangle = \langle h \xi, \eta \rangle</math>
を満たす線型作用素 &psi;<sup>*</sup> を &psi; の内積〈•, •〉に関する'''共役''' (あるいは随伴, ''adjoint'')と呼ぶことに由来する。つまり、自分自身が自分の共役であるという意味である。
 
を満たす場合、作用素 {{math|''h''}} は'''対称作用素''' ({{en|symmetric operator}}) と呼ばれる。
 
更に対称作用素 {{math|''h''}} について、
 
:{{math|1={{mset|''&xi;'' &isin; ''H'' : ''&eta;'' → &lang;''&xi;'', ''h&eta;''&rang; が ''D'' 上有界}} = ''D''}}
 
を満たす場合、作用素 {{math|''h''}} は'''自己共役作用素''' ({{en|self-adjoint operator}}) または'''自己随伴作用素'''と呼ばれる。
 
上記の作用素を「自己共役(自己随伴)」と呼ぶのは、一般に[[内積空間]]で
 
: <math display="block">\langle \psi^*\xi, \eta \rangle = \langle \xi, \psi\eta \rangle</math>
 
を満たす線型作用素 {{math|''&psi;''<sup>*</sup>}}{{math|''&psi;''}} の内積 {{math|&lang;•, •&rang;}} に関する'''共役''' (あるい({{en|conjugate}}) また'''随伴, ''adjoint'' ({{en|adjoint}}) と呼ぶことに由来する。つまり、自分自身が自分の共役であるという意味である。
つまり、自分自身が自分の共役であるという意味である。
 
== 例 ==