「計量テンソル」の版間の差分

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{{Notice|title=注意|この記事では、添字の和に関して[[アインシュタインの縮約記法]]を用いる。|style=important}}
[[リーマン幾何学]]において'''計量テンソル'''(けいりょうテンソル、{{lang-en-short|metric tensor}})とは、空間内の[[距離]]と[[角度]]を定義する[[階数]]({{en|rank}})が2の[[テンソル]]を言う。[[多様体]]が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の2次関数を選ぶことができる場合、その多様体を[[リーマン多様体]]と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、'''リーマン計量'''({{en|Riemannian metric}})と呼ばれることもある。
 
ひとたび、ある座標系 {{math|''x''<sup>''i''</sup>}} が選ばれると、計量テンソルは[[行列]]形式で定義される。通常、{{math|''G''}} として表記され、各成分は {{math| ''g''<sub>''ij''</sub>}} と表される。以下では、添え字の和に関して[[アインシュタインの縮約記法]]を用いる。
 
== 概要 ==
リーマン多様体上の点{{math|''a''}} から {{math|''b''}} までの曲線の長さは、{{math|''t''}} をパラメータとして、積分
:<math>L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt \ </math>
で計算されるように、各座標近傍内に
と定義される。2つの接ベクトル({{en|tangent vector}})<math>U=u^i{\partial\over \partial x^i} \ </math> と <math>V=v^i{\partial\over \partial x^i} \ </math> のなす角度 {{math|&theta;}} は、
:<math>g_{ij}(x) = g_{ji}(x)</math>
という関数が与えられる。この <math>g_{ij}</math> が定めるテンソルを'''基本計量テンソル'''(fundamental metric tensor)と呼ぶ{{sfn|リーマン|リッチ|レビ=チビタ|アインシュタイン|1971|pp=194-197}}。
 
と定義される。2つの接ベクトル({{en|tangent vector}})<math>U=u^i{\partial\over \partial x^i} \ </math> と <math>V=v^i{\partial\over \partial x^i} \ </math> のなす角度 {{math|&theta;}} は、
:<math>
\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j}
 
== 参考文献 ==
* {{cite book | 和書 | |last =リーマン|last2 =リッチ|last3 =レビ=チビタ|last4 =アインシュタイン | coauthors =マイヤー | title=リーマン幾何とその応用 | editor=[[矢野健太郎 (数学者)|矢野健太郎]](訳) | year=1971 | publisher=共立出版 | ref=harv }}
* {{cite book |和書| author=石原繁 | title=テンソル -科学技術のために- | publisher=裳華房 | year=1991 | ref=harv }}