「双対」の版間の差分
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アーベル群の双対に挑むが沈没気味 |
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また、正八面体の面心を取ると、
正六面体の頂点の位置関係に等しく、<br>
そういう関係を'''双対'''(関係)と
* 正四面体では正四面体自身
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* 正十二面体と正二十面体
の関係が該当する。
==グラフと双対==
（スタブ）
==論理記号の双対==
命題を論理式として表したとき、[[論理和]] ∧ と[[論理積]] ∨ とをすべて入れ替え、全称記号 ∀ と存在記号 ∃ とをすべて入れ替えたものをもとの論理式の'''双対'''という。元の論理式が証明可能ならばその双対の否定が証明可能であり、ある論理式の否定が証明可能ならば、その論理式の双対が証明可能になる。
==ベクトル空間の双対==
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これが'''双対'''と呼ばれるのは、ベクトル空間<i>V</i>,<i>W</i>,... たちの作る世界と、その双対ベクトル空間たち<i>V</i><sup>*</sup>,<i>W</i><sup>*</sup>,... の世界との間に、裏返しの関係があるからである。（それぞれの[[圏と関手|圏]]の間に自然な反変関手が存在する。）
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（''このセクションは [[Wikipedia:完璧なスタブ記事|書きかけ]]です。このセクションを[[Wikipedia:書きかけの記事の探し方、直し方|直して]]下さる群の表現に詳しい協力者を求めています。'' ）<br>
アーベル群 ''G'' から、0 を抜いた複素数全体のなす乗法群への準同型（''指標''と呼ばれる）全体のなす群 ''G''^ を'''双対群'''（または''指標群''）という。指標の間の演算は、写像の値の複素数としての積によって入れる。
アーベル群 ''G'' が有限のときには、双対群はもとの群と同型になり、双対群の双対群 ''G''^^ には元の群との間に自然な同型がある（有限次元ベクトル空間との類似）。
さらに、有限アーベル群 ''G'' の部分群 ''H'' に対し ''G''^ の部分群 ''H''* を、全ての ''H'' の元を 1 に写す指標全体で定義し、''G''^ の部分群 ''Φ'' に対して ''G'' の部分群 ''Φ''* を ''Φ'' の任意の指標によって 1 に移されるような ''G'' の元全体で定義すると、''H''* は (''G''/''H'')^ と、''Φ''* は (''G''^/''Φ'')^ とそれぞれ自然に同型になる。また ''H'' を ''H''* に対応させるような ''G'' の部分群全体から ''G''^ の部分群全体への写像は全単射で、(''H''*)* = ''H'' が成り立つ（Φ* に関しても同様）。
有限性や可換性の条件をゆるめると問題は急速に難しくなる。
==双対問題・双対定理==
(スタブ)
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