「ワイエルシュトラスの因数分解定理」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
定理のいくつかの形 |
簡略版の証明 |
||
116行目:
===特定の零点を持つ整函数の存在===
次の定理は下記の'''ワイエルシュトラスの定理'''を簡略化したものであるが、任意に与えられた可算無限数列の全ての要素を零点として持つ整函数の存在を保証している。
'''定理'''(簡略版)： <math>\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> を 0 を含まず、集積点を持たない複素数の無限数列でとすると、函数
: <math>f(z) = \prod_{n=1}^\infty E_{n}(z/a_n)</math>
は点 <math>a_n</math> にのみ零点を持つ整函数である。数 <math>z_0</math> が数列 <math>\{a_n\}</math> の中にちょうど ''m'' 回あれば、函数 ''f'' は <math>z=z_0</math> に多重度 ''m'' の零点を持つ。
'''証明'''： <math>f(z)</math>の対数を取ると次のようになる。
:<math>\log f(z) = \sum_{n=1}^\infty \log E_{n}(z/a_n) = \sum_{n=1}^\infty (\log (1-z/a_n) + h_n(z/a_n) )</math>
前節で示したように <math>\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> が集積点を持たないことは、任意の正数 <math>R</math> に対して自然数 <math>N</math> が決まり、<math> n > N</math> であれば <math>|a_n| > R</math> となるという条件と同値である。<math>R</math> とそれに対応する <math>N</math> を固定して考える。
無限和 <math>\sum_{n=1}^\infty \log E_{n}(z/a_n)</math> を <math> n \le N</math> である有限和 <math>\sum_{n=1}^N E_n(z) = \sum_{n=1}^N (\log (1-z/a_n) + h_n(z/a_n) )</math> と <math> n > N</math> である無限和 <math>\sum_{n=N+1}^\infty E_n(z/a_n) = \sum_{n=N+1}^\infty (\log (1-z/a_n) + h_n(z/a_n) )</math> に分けて考える。
有限和 <math>\sum_{n=1}^N (\log (1-z/a_n) + h_n(z/a_n) )</math> は各零点 <math>a_n</math> で負の無限大になり、複素平面のそれ以外の点では有限確定値を取る。
一先ず <math>|z| < R </math> として、 無限和部分の絶対値を考え、前節で示したいくつかの式を援用すると次のようになる。
:<math>| \sum_{n=N+1}^\infty \log E_n(z/a_n)| = | \sum_{n=N+1}^\infty r_n(z/a_n)|</math>
::<math> \le \sum_{n=N+1}^\infty \frac { |z/a_n|^{n+1} }{n+1} \frac{1}{1-|z/a_n|}</math>
::<math> \le \sum_{n=N+1}^\infty \frac { {|R/a_{N+1}|^{n+1}}} {n+1} \frac{1}{1-|R/a_{N+1}|}</math>
::<math> \le \log (1-R/|a_{N+1}|) \frac{1}{1-R/|a_{N+1}|}</math>
従って、無限和部分の絶対値は有限確定値を取る。 <math>R</math> は任意に大きくできるので、任意の<math>z</math> に対して、無限和部分の絶対値は有限確定値を取る。従って、無限和 <math>\sum_{n=1}^\infty \log E_{n}(z/a_n)</math> は各零点 <math>a_n</math> で負の無限大になり、複素平面のそれ以外の点では有限確定値を取る。
以上から 無限積 <math>f(z) = \prod_{n=1}^\infty E_{n}(z/a_n)</math> は各零点 <math>a_n</math> でのみ 0 となり、複素平面のそれ以外の点では 0 以外の有限確定値を取る。つまり <math>f(z)</math> は整函数である。
次の定理は単に'''ワイエルシュトラスの定理''' {{en|(Weierstrass theorem)}} と呼ばれることがある<ref name="mw-wst">{{MathWorld | urlname=WeierstrasssTheorem | title=Weierstrass's Theorem}}</ref>。
153 ⟶ 173行目:
次の定理が一般に'''ワイエルシュトラスの因数分解定理'''と呼ばれている完全形式である。ワイエルシュトラスの積/因子定理と呼ばれることもある<ref name="mw-wpt">{{MathWorld | urlname=WeierstrassProductTheorem | title=Weierstrass Product Theorem}}</ref>。
'''定理'''(完全版)： ''f'' を整函数とし、<math>\{a_n\}</math> を ''f'' の 0 以外の零点とする（多重度だけ繰り返すものとする）。''f'' が ''z'' = 0 で位数 ''m'' ≥ 0 である零点を持つとする（ ''z'' = 0 で位数 ''m'' = 0 の零点とは、ƒ(0) ≠ 0 を意味する）と、整函数 ''g'' と整数の数列 <math>\{p_n\}</math> が存在し、
: <math>f(z)=z^m e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}\!\!\left(\frac{z}{a_n}\right)</math>
| |||