「エネルギー・運動量テンソル」の版間の差分
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19行目:
[[作用積分]]が
:<math>S[\phi]= \int \mathrm{d}^4x\, \mathcal{L}(\phi,\partial\phi)</math>
と書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + ξ に対して、φ'(x')=φ(x) が成り立つ。
43行目:
一般相対性理論においては時空の計量 {{mvar|g}} が力学変数となる。作用汎関数が
{{Indent|
<math>S[g,\phi] = \frac{1}{c} \int \mathcal{L}(g,\phi,\partial\phi) \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x</math>
}}
で書かれているとき、計量 {{mvar|g}} による作用の汎関数微分は
84行目:
S[g,X,\gamma] &=\frac{1}{2}\int \sum_i \left(
\frac{1}{{\gamma_i}^2}g_{\mu\nu}(X_i)\, \dot{X}_i^\mu \dot{X}_i^\nu
-m_i^2c^2 \right) \gamma_i(\lambda)\, \mathrm{d}\lambda \\
&=\frac{1}{2} \int \mathrm{d}^4x \int \sum_i \left(
\frac{1}{{\gamma_i}^2}g_{\mu\nu}(x)\, \dot{X}_i^\mu \dot{X}_i^\nu
-m_i^2c^2 \right) \delta^4(X_i -x)\, \gamma_i(\lambda)\, \mathrm{d}\lambda \\
\end{aligned} </math>
}}
94行目:
<math>T^{\mu\nu}(x) =\frac{2c}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S[g,X,\gamma]}{\delta g_{\mu\nu}(x)}
=\frac{c}{\sqrt{-g}} \int \sum_i \frac{1}{\gamma_i} \dot{X}_i^\mu \dot{X}_i^\nu
\delta^4(X_i -x)\, \mathrm{d}\lambda</math>
}}
と導かれる。補助変数 {{mvar|γ{{sub|i}}}} から導かれる拘束条件 <math>\gamma =\frac{1}{m_i}\frac{\mathrm{d}\tau_i}{\mathrm{d}\lambda}</math> を用いれば
{{Indent|
<math>T^{\mu\nu}(x) =\frac{1}{\sqrt{-g}} \sum_i m_ic \int u_i^\mu u_i^\nu \delta^4(X_i -x)\, \mathrm{d}\tau_i</math>
}}
となる。
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