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4行目: == 定義 == {{mvar\|n}} 次元[[ユークリッド空間]] {{math\|('''R'''{{sup\|''n''}}, ''d'')}} の[[開集合]] {{mvar\|U}} 上で定義された[[実数値関数]] {{math\|''f'': ''U'' → '''R'''}} をとる{{efn2\|より一般に部分集合 {{mvar\|E}} 上で定義された実数値関数をとり、その[[内点]] {{mvar\|p}} に対してのみ極値を定義することもある。}}。関数 {{mvar\|f}} を定義域のに属する点 {{mvar\|p}} のある {{mvar\|ε}} [[近傍]]に制限すると値 {{math\|''f''(''p'')}} がその[[最小値]]であるとき、値 {{math\|''f''(''p'')}} を関数 {{mvar\|f}} の'''極小値'''（{{lang\|en\|local minimum}}）といい、点 {{mvar\|p}} を関数 {{mvar\|f}} の'''極小点'''（{{lang\|en\|minimizing point}}）という。この条件は[[論理式 (数学)\|論理式]]を用いると :<math> \exists \varepsilon > 0 [\forall q \in U [d(p, q) < \varepsilon \implies f(p) \le f(q)]] 12行目: [\exists p \in U [m = f(p)]] \land [\forall q \in U [m \le f(q)]] </math> が成立することであった。したがって最小値は極小値である。}}。同様に関数 {{mvar\|f}} を定義域のに属する点 {{mvar\|p}} のある {{mvar\|ε}} 近傍に制限すると値 {{math\|''f''(''p'')}} がその[[最大値]]であるとき値 {{math\|''f''(''p'')}} を関数 {{mvar\|f}} の'''極大値'''（{{lang\|en\|local maximum}}）といい、点 {{mvar\|p}} を関数 {{mvar\|f}} の'''極大点'''（{{lang\|en\|maximizing point}}）という。極小値と極大値を総称して'''極値'''（{{lang\|en\|extremum}}）といい、極小点と極大点を総称して'''極値点'''という。 22行目: {{mvar\|n}} 次元[[ユークリッド空間]] {{math\|'''R'''{{sup\|''n''}}}} の[[開集合]] {{mvar\|U}} 上で定義された[[実数値関数]] {{math\|''f'': ''U'' → '''R'''}} をとり、これが[[全微分\|微分可能]]であるとする。定義域のに属する点 {{mvar\|p}} における関数 {{mvar\|f}} の[[勾配 (ベクトル解析)\|勾配]] :<math> \nabla f(p) = \bigg[\frac{\partial f}{\partial x_1}(p), \dotsc, \frac{\partial f}{\partial x_n}(p)\bigg]

「極値」の版間の差分