ひずみエネルギー

ひずみエネルギー (Strain energy) とは弾性体に外力が仕事をした場合、弾性体に蓄えられるエネルギー。単軸引張状態では、応力σ、ひずみεが生じている体積V の物体に蓄えられるひずみエネルギーU は、

U=\int _{V}\left(\int _{0}^{\epsilon }\sigma d\epsilon \right)dV=\int _{V}\left({\frac {1}{2}}\sigma \epsilon \right)dV

となる。

棒材のひずみエネルギー編集

全長 $l$ の弾性体に作用する外力やモーメントを、軸力 $N$ 、曲げモーメント $M$ 、せん断力 $Q$ とすると、ヤング係数 $E$ 、断面積 $A$ 、断面二次モーメント $I$ 、せん断弾性係数 $G$ 、形状係数 $\kappa$ の部材に蓄えられるひずみエネルギー $U$ は、

U={1 \over 2}\int _{l}{N^{2} \over EA}\,dx+{1 \over 2}\int _{l}{M^{2} \over EI}\,dx+{1 \over 2}\int _{l}{\kappa Q^{2} \over GA}\,dx

で与えられる。

トラス構造では、主に作用するのは軸力なので、部材数 m の場合

U={1 \over 2}\sum _{k=1}^{m}{N_{k}^{2}l_{k} \over E_{k}A_{k}}

梁構造では、主に作用するのは曲げモーメントとせん断力であるから、

U={1 \over 2}\int _{l}{M^{2} \over EI}\,dx+{1 \over 2}\int _{l}{\kappa Q^{2} \over GA}\,dx

次式で定義されるU_C を、補足ひずみエネルギーまたはコンプリメンタリひずみエネルギー（complementary strain energy）という。

U_{\mathrm {C} }=\int _{V}\left(\int _{0}^{\epsilon }\epsilon d\sigma \right)dV

上式の括弧の中は補足ひずみエネルギー密度関数と呼ばれる^[1]。線形弾性体では U_C = U であるが、高分子などの非線形弾性体では両者は異なる。