ツェラーの公式

ツェラーの公式（ツェラーのこうしき、英: Zeller's congruence）とは西暦（グレゴリオ暦またはユリウス暦）の年・月・日から、その日が何曜日であるかを算出する公式である。クリスティアン・ツェラー (Christian Zeller) が考案した^[1]。ユリウス通日を求め、そこから曜日を求める計算と本質は同じである。

公式編集

$y$ 年 $m$ 月 $d$ 日の曜日を求める。

ただし、1月と2月は、前年のそれぞれ13月・14月として扱う。たとえば、2024年1月1日・2月1日は、2023年13月1日・14月1日とする。また、紀元前 ${\hat {y}}$ 年は西暦 $1-{\hat {y}}$ 年として扱う。たとえば、紀元前1年・前2年・前3年は、0年・－1年・－2年となる（天文学的紀年法）。

曜日 $h$ （ $h$ は、0～6で土曜日～金曜日を表す。）は次の式で求められる：

h=\left\{d+\left\lfloor {\frac {26(m+1)}{10}}\right\rfloor +Y+\left\lfloor {\frac {Y}{4}}\right\rfloor +{\mathit {\Gamma }}\right\}\mod 7

${\mathit {\Gamma }}$ はグレゴリオ暦 (Gregorian) かユリウス暦 (Julian) かで変わる項で、

{\mathit {\Gamma }}={\begin{cases}-2C+\left\lfloor {\frac {C}{4}}\right\rfloor &{\mbox{: Gregorian }}(1582\lessapprox y)\\-C+5&{\mbox{: Julian }}(4\lessapprox y\lessapprox 1582)\end{cases}}

ただし

C=\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor

Y=y\mod 100

。

$\lfloor x\rfloor$ はxを超えない（x以下）の最大の整数（床関数）であり、 $x\mod n$ は $x$ を $n$ で割った剰余である。 $C$ と $Y$ は、（西暦が4桁の場合）西暦の上2桁と下2桁を表す中間変数で、たとえば2024年なら、それぞれ20と24になる。

曜日	日	月	火	水	木	金	土
h	1	2	3	4	5	6	0
D	7	1	2	3	4	5	6

日付の国際規格である ISO 8601が定める $D$ （1～7で月曜日～日曜日）を求めるには、次の式

D=\left[\left\{d+\left\lfloor {\frac {26(m+1)}{10}}\right\rfloor +Y+\left\lfloor {\frac {Y}{4}}\right\rfloor +{\mathit {\Gamma }}+5\right\}\mod 7\right]+1

を使う。

以上の2つの計算式は、それぞれの暦を過去または未来に単純に延長して使うのであれば、年数の有効範囲の限界はない。しかし歴史上の実際の年月日についての曜日を知るには、グレゴリオ暦に切り替わった日付に注意が必要である（グレゴリオ暦#各国・各地域における導入を参照）。さらに西暦4年 3月1日以前の実際の年月日についての曜日を知るには、閏年の規則そのものが異なるので、上記の計算式におけるユリウス暦の公式も適用できない。

コンピュータでの計算編集

コンピュータの多くの環境では負数の剰余を保証しないので、整数の合同関係を使って

{\mathit {\Gamma }}={\begin{cases}5C+\left\lfloor {\frac {C}{4}}\right\rfloor &{\mbox{: Gregorian }}(1582\lessapprox y)\\6C+5&{\mbox{: Julian }}(4\lessapprox y\lessapprox 1582)\end{cases}}

と変形する。

西暦0年（紀元前1年）3月1日以前に対する場合、 $C$ と $Y$ を求める式にも修正が必要である。適度に大きい100の倍数を $y$ に足して、負にならないようにする。

ツェラーの公式の導出編集

ツェラーの公式はフェアフィールド (Fairfield) の公式の変形である。以下に、グレゴリオ暦を例に、その変形過程を記載する。

フェアフィールドの公式編集

1年1月1日（0年13月1日）～ y 年 m 月 d 日の日数を求める。ただし、m = 1, 2 の場合は、y = y － 1, m = m + 12とし、1年を、3月1日～ 14月28日（閏年は29日）と再定義する。

1年1月1日（0年13月1日）を含めた、y 年 m 月 d 日迄の日数は以下の通り。

　1年1月1日（0年13月1日）～ 1年2月28日（0年14月28日）

　　・・・　　31 + 28 （日）

　1年3月1日～ ( y － 1 ) 年14月末日（この時点では閏年は考慮しない）

　　・・・　　365 ( y － 1 ) （日）

　1年1月1日（0年13月1日）～ ( y － 1 ) 年14月末日の閏年の回数

　　・・・　　[ ( 1 + ( y － 1 ) ) / 4 ) ] - [ ( 1 + ( y － 1 ) ) / 100 ) ] + [ ( 1 + ( y － 1 ) ) / 400 ) ]

　　　　　　= [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] （日）

　y 年3月1日～ y 年 ( m － 1 ) 月末日

　　・・・　　[ 306 ( m + 1 ) / 10 ] － 122 （日）　（以下表を参照）

　y 年 m 月1日～ y 年 m 月 d 日

　　・・・　　d （日）


当月(m)	前月(m－1)	日数(Σ)	[306(m+1)/10]－122
3		0	0
4	3	31	31
5	4	61	61
6	5	92	92
7	6	122	122
8	7	153	153
9	8	184	184
10	9	214	214
11	10	245	245
12	11	275	275
13	12	306	306
14	13	337	337

　　※3月1日～ ( m － 1 )月末日迄の日数と、[ 306 ( m + 1 ) / 10 ] － 122 の値は完全に一致している。

従って、1年1月1日～ y 年 m 月 d 日の日数は、上記全てを合算した、

　　31 + 28 + 365 ( y － 1 ) + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 306 ( m + 1 ) / 10 ] － 122 + d

$=365y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {306(m+1)}{10}}\right\rfloor +d-428$

　　・・・　　【※】／ Fairfield の公式

となる。

曜日は７日間で循環しているので、上記【※】式の 7 の剰余を求めることで、曜日が判明する。即ち、

$h=\left(365y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {306(m+1)}{10}}\right\rfloor +d-428\right)\mod 7$

　　・・・　　【I】

である。

このとき、h のとり得る値は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 で、順に日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日、土曜日を表す

（現行のグレゴリオ暦は、1582年10月15日に、この日を金曜日であるとして施行されたがこの日を起点に、遡ってグレゴリオ暦を適用すると、1年1月1日は月曜日となるため h の値が表す曜日がこのような並びになる）

ツェラーの公式への変形編集

【I】式が 7 の剰余である事を利用すると、以下の通り変形できる。

　　h = ( 7 ( 52 y - 62) + y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 ] + 6 + d )　mod　7

　　　= (　　　　　　　　　　y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 ] + 6 + d )　mod　7

ここで、[ ] （ガウス記号）の性質（ [ a ] + b = [ a + b ] , ただし b は整数）を利用すると、

　　h = ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 + 6 ] + d )　mod　7

　　　= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 153 m + 153 + 30 ) / 5 ] + d )　mod　7

　　　= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 153 m + 183 ) / 5 ] + d )　mod　7

　　　= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 35 ( 4 m + 5 ) + 13 m + 8 ) / 5 ] + d )　mod　7

　　　= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 7 ( 4 m + 5 ) + ( 13 m + 8 ) / 5 ] + d )　mod　7

さらに、h が 7 の剰余であることを利用して、

$h=\left(y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {13m+8}{5}}\right\rfloor +d\right)\mod 7$

　　・・・　　【II】

が導き出される。

ツェラーの公式の変形編集

y = 100 C + Y ( 0 ≦ Y ≦ 99, C, Y は整数)と置くと、（II）式は以下の通り変形される。

　　h = ( 100 C + Y + [ ( 100 C + Y ) / 4 ] - [ ( 100 C + Y ) / 100 ] + [ ( 100 C + Y ) / 400 ] + [ ( 13 m + 8 ) / 5 ] + d )　mod　7

　　　= ( 100 C + Y + [ 25 C + Y / 4 ] - [ C + Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 － 1 ] + d )　mod　7

　　　= ( 100 C + Y + [ 25 C + Y / 4 ] - [ C + Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] － 1 + d )　mod　7

　　　= ( 100 C + Y + 25 C + [ Y / 4 ] - C - [ Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d － 1 )　mod　7

　　　= ( 124 C + Y 　　　　 + [ Y / 4 ] 　　 - [ Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d － 1 )　mod　7

　　　= ( ( 7 * 17 ) C + 5 C + Y + [ Y / 4 ] - [ Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d － 1 )　mod　7

h が 7 の剰余であることを利用して、

　　h = ( 5 C + Y + [ Y / 4 ] - [ Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d － 1 )　mod　7

ここで、0 ≦ Y ≦ 99より、0 ≦ Y / 100 ≦ 0.99, 0 ≦ Y / 400 ≦ 0.2475 であり、

　　[ Y / 100 ] = 0

また、C / 4 の小数部分は、0, 0.25, 0.5, 0.75 の何れかの値を取る為、C / 4 + Y / 400 の小数部分は、高々 0.75 + 0.2475 = 0.9975 であり、

　　[ C / 4 + Y / 400 ] = [ C / 4 ]

としてよい。よって、

　　h = ( 5 C + Y + [ Y / 4 ] + [ C / 4 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d － 1 )　mod　7

このとき、h のとり得る値は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 で、順に日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日、土曜日を表す（【I】式の場合と同様）。

演算（項）数を減らすためこの式の被除数に 1 加算すると

$h=\left(5C+Y+\left\lfloor {\frac {Y}{4}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {C}{4}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26(m+1)}{10}}\right\rfloor +d\right)\mod 7$

　　・・・　　【III】

となる。

このとき、h のとり得る値は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 で、順に土曜日、日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日を表す（被除数に 1 加算しているため【I】式の場合と比べ、１日分のずれが生じた）。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【証明終】

脚注編集

[脚注の使い方]

^ Zeller, Christian (1882). 「Die Grundaufgaben der Kalenderrechnung auf neue und vereinfachte Weise gelöst" Württembergische Vierteljahrshefte für Landesgeschichte (in German). V: 313-314.

[1] Zeller, Christian (1882). 「Die Grundaufgaben der Kalenderrechnung auf neue und vereinfachte Weise gelöst" Württembergische Vierteljahrshefte für Landesgeschichte (in German). V: 313-314.

[1]

当月(m)	前月(m－1)	日数(Σ)	[306(m+1)/10]－122
3		0	0
4	3	31	31
5	4	61	61
6	5	92	92
7	6	122	122
8	7	153	153
9	8	184	184
10	9	214	214
11	10	245	245
12	11	275	275
13	12	306	306
14	13	337	337

当月(m)	前月(m－1)	日数(Σ)	[306(m+1)/10]－122
3		0	0
4	3	31	31
5	4	61	61
6	5	92	92
7	6	122	122
8	7	153	153
9	8	184	184
10	9	214	214
11	10	245	245
12	11	275	275
13	12	306	306
14	13	337	337

ツェラーの公式

公式 編集

コンピュータでの計算 編集

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ツェラーの公式への変形 編集

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