差商に対する平均値の定理

解析学における差商に対する平均値の定理（へいきんちのていり、英: mean value theorem）は、平均値の定理を高階導函数に対するものへ一般化する。

定理の主張

平均値の定理

どの二つも相異なる n + 1 個の点 x₀, …, x_n を含む定義域上で n 回微分可能な函数 f に対し、内点

$$\xi \in (\min\{x_{0},\dots ,x_{n}\},\,\max\{x_{0},\dots ,x_{n}\})$$

が存在して、その点での f の n-階微分係数が、与えられた点における n-次差商の n!-倍に等しい。式で書けば

$$f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}$$

が成り立つ。

n = 1 のとき、上記の主張は函数の二点間の値に対する、通常の平均値の定理である。

証明

点 x₀, …, x_n における f のラグランジュ補間多項式を P とするとき、ニュートン形を考えれば P の最高次項は ${\textstyle f[x_{0},\dots ,x_{n}](x-x_{n-1})\dotsb (x-x_{1})(x-x_{0})}$ である。

g ≔ f − P をこの補間の誤差項とすれば、g は x₀, …, x_n という n + 1 個の零点を持つ。ロルの定理をまず g に適用し、さらに g′ に適用し、以下同様に g⁽ⁿ⁻¹⁾ まで適用すれば、g⁽ⁿ⁾ が零点 ξ を持つことが分かる。したがって

$$0=g^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-f[x_{0},\dots ,x_{n}]n!$$

となり、整理すれば

$$f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}$$

を得る。

応用

差商に対する平均値定理を用いれば、Stolarsky平均を多変数に一般化することができる。