数学 において弱形式 （じゃくけいしき、英 : weak formulation ）は、線型代数学 の概念を、例えば偏微分方程式 などの他の分野において問題を解くために用いることを可能にする、重要な解析上の道具である。弱形式において、方程式の絶対性はもはや要求されず（適切である必要すらない）、代わりにあるテストベクトルあるいはテスト函数に関する弱解 が存在する。これは超函数 の意味で解を要求する問題を構成することと同値である。
ここでは弱形式に関するいくつかの例を紹介し、その解に対する主要な定理であるラックス＝ミルグラムの定理 （Lax-Milgram theorem）を述べる。
一般の概念
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例1：線型連立方程式
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V
=
R
n
{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}
A
:
V
→
V
{\displaystyle A:V\to V}
A
u
=
f
{\displaystyle Au=f}
の弱形式は、すべての
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
⟨
A
u
,
v
⟩
=
⟨
f
,
v
⟩
{\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle \,}
ここで
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
A
{\displaystyle A}
⟨
A
u
,
e
i
⟩
=
⟨
f
,
e
i
⟩
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle \langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle \quad i=1,\ldots ,n\,}
が得られる。実際、
u
=
∑
j
=
1
n
u
j
e
j
{\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}
A
u
=
f
.
{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} .}
ここで
a
i
j
=
⟨
A
e
j
,
e
i
⟩
{\displaystyle a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle }
f
i
=
⟨
f
,
e
i
⟩
{\displaystyle f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle }
この弱形式に関連する双線型形式は、次で与えられる。
a
(
u
,
v
)
=
v
T
A
u
.
{\displaystyle a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .}
例2 ポアソン方程式
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ここでの目標は、ある領域
Ω
⊂
R
d
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}
ポアソン方程式
−
∇
2
u
=
f
{\displaystyle -\nabla ^{2}u=f\,}
の解で、境界で
u
=
0
{\displaystyle u=0}
V
{\displaystyle V}
L
2
{\displaystyle L^{2}}
⟨
u
,
v
⟩
=
∫
Ω
u
v
d
x
.
{\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx.}
微分可能な函数
v
{\displaystyle v}
−
∫
Ω
(
∇
2
u
)
v
d
x
=
∫
Ω
f
v
d
x
.
{\displaystyle -\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}
この方程式の左辺は、グリーンの恒等式 を用いた部分積分 により、より対称的な次の形式で記述できる。
∫
Ω
∇
u
⋅
∇
v
d
x
=
∫
Ω
f
v
d
x
.
{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}
これは正しくポアソン方程式 の弱形式と通常呼ばれるものである。ここで空間
V
{\displaystyle V}
弱微分 が
L
2
(
Ω
)
{\displaystyle L^{2}(\Omega )}
ソボレフ空間
H
0
1
(
Ω
)
{\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}
次のように記号を定めることで、一般的な形を得ることが出来る：
a
(
u
,
v
)
=
∫
Ω
∇
u
⋅
∇
v
d
x
{\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx}
および
f
(
v
)
=
∫
Ω
f
v
d
x
.
{\displaystyle f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.}
ラックス＝ミルグラムの定理
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これは双線型形式 の対称部分の性質に依存するラックス＝ミルグラムの定理 （Lax-Milgram theorem）の構成である。最も一般的な形という訳ではない。
V
{\displaystyle V}
ヒルベルト空間 とし、
a
(
⋅
,
⋅
)
{\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}
V
{\displaystyle V}
双線型形式 で、次を満たすものとする：
有界 ：
|
a
(
u
,
v
)
|
≤
C
‖
u
‖
‖
v
‖
{\displaystyle |a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|}
強圧的 ：
a
(
u
,
u
)
≥
c
‖
u
‖
2
.
{\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}.}
このとき、任意の
f
∈
V
′
{\displaystyle f\in V'}
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
a
(
u
,
v
)
=
f
(
v
)
.
{\displaystyle a(u,v)=f(v).}
また次が成立する。
‖
u
‖
≤
1
c
‖
f
‖
V
′
.
{\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}.}
例1への応用
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この場合、ラックス＝ミルグラムの定理を適用することは明らかに十分すぎるものであるが、他の場合と同様の形にするためにこの定理を使用する。
有界性：
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
|
a
(
u
,
v
)
|
≤
‖
A
‖
‖
u
‖
‖
v
‖
{\displaystyle |a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|\,}
強圧性： これは実際、
A
{\displaystyle A}
c
{\displaystyle c}
さらに次の評価が得られる。
‖
u
‖
≤
1
c
‖
f
‖
,
{\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,\,}
ここで
c
{\displaystyle c}
A
{\displaystyle A}
例2への応用
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上述のように、
V
=
H
0
1
(
Ω
)
{\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}
‖
v
‖
V
:=
‖
∇
v
‖
{\displaystyle \|v\|_{V}:=\|\nabla v\|}
ここで右辺のノルムは
Ω
{\displaystyle \Omega }
L
2
{\displaystyle L^{2}}
ポアンカレ不等式 により、これは正しく
V
{\displaystyle V}
|
a
(
u
,
u
)
|
=
‖
∇
u
‖
2
{\displaystyle |a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}}
コーシー＝シュワルツの不等式 より次が成り立つ：
|
a
(
u
,
v
)
|
≤
‖
∇
u
‖
‖
∇
v
‖
{\displaystyle |a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|}
したがって、任意の
f
∈
[
H
0
1
(
Ω
)
]
′
{\displaystyle f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'}
ポアソン方程式 の唯一つの解
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
‖
∇
u
‖
≤
‖
f
‖
[
H
0
1
(
Ω
)
]
′
.
{\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.}
関連項目
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参考文献
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Lax, Peter D. ; Milgram, Arthur N. (1954). “Parabolic equations”. Contributions to the theory of partial differential equations . Annals of Mathematics Studies, no. 33. Princeton, N. J.: Princeton University Press. pp. 167–190 MR 0067317 外部リンク
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=f(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2f60607eecedda1a17237e3cd60a09902b3de86)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106c3214889818dd21d36fede1049ccbe587a82c)
![{\displaystyle f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e949b3575a7b046830899b66fe9c45ae5515a8)
![{\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881a2aa647d323adeba9790d3279559f222972eb)