特異測度

数学の分野において、ある可測空間 (Ω, Σ) 上で定義される二つの正（あるいは符号付または複素）測度 μ および ν が特異（とくい、英: singular）であるとは、Σ 内の二つの互いに素な集合 A と B で、その合併が Ω であり、B のすべての可測部分集合上で μ がゼロとなり、A のすべての可測部分集合上で ν がゼロとなるようなものが存在することを言う。この関係は $\mu \perp \nu$ と表される。

ルベーグの分解定理の改良されたものにおいては、特異測度をある特異連続測度と離散測度に区分している。例としては下記を参照されたい。

Rⁿ 上の例

特別な例として、ユークリッド空間 Rⁿ 上のある測度が特異的であるとは、それがその空間上のルベーグ測度に関して特異的であることを言う。例えば、ディラックのデルタ関数は特異測度である。

例 離散測度

実数直線上のヘヴィサイドの階段関数

$H(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geq 0;\end{cases}}$

は、その分布的導関数（distributional derivative）としてディラックのデルタ関数 $\delta _{0}$ を持つ。これは実数直線上の測度で、0 において点質量（point mass）を持つ。しかし、ディラック測度 $\delta _{0}$ はルベーグ測度 $\lambda$ に関して絶対連続ではなく、$\lambda$ も $\delta _{0}$ に関して絶対連続では無い。すなわち、$\lambda (\{0\})=0$ であるが $\delta _{0}(\{0\})=1$ であり、また $U$ を任意の開集合で 0 を含まないものとするなら、$\lambda (U)>0$ であるが $\delta _{0}(U)=0$ である。

例 特異連続測度

カントール分布は連続であるが絶対連続では無い累積分布関数であり、実際その絶対連続な部分はゼロである。すなわち、この分布は特異連続である。

関連項目

• ルベーグの分解定理
• 絶対連続
• 特異分布

参考文献

• Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
• J Taylor, An Introduction to Measure and Probability, Springer, 1996. ISBN 0-387-94830-9.

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