第2種ベータ分布 （だい2しゅベータぶんぷ、英 : beta prime distribution, beta distribution of the second kind ）は、連続確率分布 であり、確率変数 X が第1種ベータ分布 に従うとき、X / 1 − X 確率密度関数 は以下で定義される。
第2種ベータ分布
確率密度関数
累積分布関数
母数
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
台
x
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle x\in (0,\infty )\!}
確率密度関数
f
(
x
)
=
x
α
−
1
(
1
+
x
)
−
α
−
β
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}\!}
累積分布関数
I
x
1
+
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{{\frac {x}{1+x}}(\alpha ,\beta )}}
I
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}
不完全ベータ関数 期待値
α
β
−
1
if
β
>
1
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{ if }}\beta >1}
最頻値
α
−
1
β
+
1
if
α
≥
1
, 0 otherwise
{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{ if }}\alpha \geq 1{\text{, 0 otherwise}}\!}
分散
α
(
α
+
β
−
1
)
(
β
−
2
)
(
β
−
1
)
2
if
β
>
2
{\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{ if }}\beta >2}
歪度
2
(
2
α
+
β
−
1
)
β
−
3
β
−
2
α
(
α
+
β
−
1
)
if
β
>
3
{\displaystyle {\frac {2(2\alpha +\beta -1)}{\beta -3}}{\sqrt {\frac {\beta -2}{\alpha (\alpha +\beta -1)}}}{\text{ if }}\beta >3}
モーメント母関数
e
−
t
Γ
(
α
+
β
)
Γ
(
β
)
G
1
,
2
2
,
0
(
α
+
β
β
,
0
|
−
t
)
{\displaystyle {\frac {e^{-t}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\beta )}}G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha +\beta \\\beta ,0\end{matrix}}\;\right|\,-t\right)}
テンプレートを表示
f
(
x
;
α
,
β
)
=
1
B
(
α
,
β
)
x
α
−
1
(
1
+
x
)
α
+
β
{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {x^{\alpha -1}}{(1+x)^{\alpha +\beta }}}}
一般化第2種ベータ分布
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p > 0 が実数の形状パラメータ、q > 0 が実数のスケールパラメータの時、下記の確率密度関数を一般化第2種ベータ分布（英 : generalized beta prime distribution ）という。
f
(
x
;
α
,
β
,
p
,
q
)
=
p
(
x
q
)
α
p
−
1
(
1
+
(
x
q
)
p
)
−
α
−
β
q
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p\left({\frac {x}{q}}\right)^{\alpha p-1}\left(1+\left({\frac {x}{q}}\right)^{p}\right)^{-\alpha -\beta }}{qB(\alpha ,\beta )}}}
ただし、表中にあるモーメント母関数の中のGで表される関数は「MeijerのG関数」というものである。(=>[一般超幾何関数：特殊関数グラフィックスライブラリー Special Functions (math-functions-1.watson.jp)])
参考文献
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蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典、朝倉書店 (2002). 関連項目
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