# 球面波

## 球面波を表す式

{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (r,t)&={\frac {f(r\pm vt)}{r}}\qquad \cdots (1)\\\psi (r,t)&={\frac {1}{r}}F\left(t\pm {\frac {r}{v}}\right)\qquad \cdots (2)\end{aligned}}}

ただしここでr は波源からの距離、t は時刻、v位相速度（ただしv > 0）である。

### 導出

3次元の波動方程式は以下である：

${\displaystyle \Delta \psi \equiv {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}\qquad \cdots (3)}$

ただしここでは波源を原点、すなわち${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)}$ としている。まずこれを球座標に変換し、角度には依存しないことを考慮すると、次式になる（ラプラス作用素#三次元を参照）。

${\displaystyle \Delta \psi ={\frac {2}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}}$
（球座標への変換導出過程）

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$
このとき
${\displaystyle {\dfrac {\partial r}{\partial x}}={\dfrac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}={\dfrac {x}{r}}}$
したがって
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}&={\frac {\partial \psi }{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}={\frac {x}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}},\\{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {x}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {x}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {\partial r}{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {x}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {x}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {x}{r}}\left(-{\frac {x}{r^{2}}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {x}{r}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}\right)\\&={\frac {r^{2}-x^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {x^{2}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}&={\frac {r^{2}-y^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {y^{2}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}},\\{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}&={\frac {r^{2}-z^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}\end{aligned}}}
したがって
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \psi &={\frac {3r^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{r^{3}}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}\\&={\frac {2}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}\end{aligned}}}


ここで

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )={\frac {2}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}}$

となるので、以上を波動方程式(3)の左辺に代入して

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}}$

を得る。両辺にr をかけると

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(r\psi )}$

となるが、これはr ψについての1次元波動方程式であり、簡単に解くことができる：

${\displaystyle r\psi =f(r\pm vt)}$

または

${\displaystyle r\psi =F\left(t\pm {\frac {r}{v}}\right)}$

したがって式(1)、(2)を得る。

## 特徴

1. 波源からの距離が大きくなるにしたがって減衰し、${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ 極限振幅は0となる。具体的にいえば、振幅は波源からの距離に反比例する。
2. 波動の様子は半径からの方向には依存せず、半径からの距離および時間のみに依存する。
3. 波源から十分離れた地点では波面のカーブが平面に近くなるため、減衰を無視できるほどの十分狭い領域では平面波として近似することができる。
4. 特に調和球面波の場合、波の強さ(エネルギー)は、距離の2乗に反比例する（逆2乗の法則）。

## 調和球面波

{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (r,t)&={\frac {\mathcal {A}}{r}}\sin[k(r\pm vt+\delta )],\\&={\frac {\mathcal {A}}{r}}\sin \left[\omega \left(t\pm {\frac {r}{v}}+\delta \right)\right]\end{aligned}}}

ここで${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ は波源強度とよばれる定数であり、k波数、ωは角振動数、δは初期位相である。

### 調和球面波のエネルギー

${\displaystyle I(r)=2\pi ^{2}\rho v\nu ^{2}\left({\frac {\mathcal {A}}{r}}\right)^{2}={\frac {2\pi ^{2}\rho v\nu ^{2}{\mathcal {A}}^{2}}{r^{2}}}}$

ただし${\displaystyle \rho }$ は媒質の密度、${\displaystyle \nu }$ 振動数である。

この式より調和球面波の強度に関して逆2乗の法則が成り立っていることがわかる。