水平に置いた縦と横が 1 と √2 や 1 と 1 + √2 の白銀比の長方形において、 左下角からの対角線と左上角からの斜めの直線が垂直に交わる点(第1交点)、 ならびに当該の斜めの直線が底辺で左右対称に跳ね返った形の直線が左上からの対角線と直角に交わる点(第2交点)は、 図に示すような位置になる。 (1 と √2 の場合は第1交点と第2交点が縦横共に3等分できる位置、1 と 1 + √2 の場合は第2交点が左下から縦横共に 1/√2 の距離となっており、第2交点については円周角の定理によりいずれも左下を中心とする半径1の正円の円周上にある。)

白銀比(はくぎんひ)と呼ばれるものは以下の2つがあり、いずれも無理である。

  1. 1 : 1 + √2 の比。貴金属比のひとつ(第2貴金属比)。
  2. 1 : √2 の比。その という性質から、紙の寸法などに用いられている。

1 : 1 + √2 の白銀比編集

 
Silver rectangle

1 : 1 + √2 の白銀比(はくぎんひ、英語: silver ratio / silver mean / silver constant)は、貴金属比のひとつの第2貴金属比であり、1 : 1 + √2である[1]。近似値は 1 : 2.414...。英語でsilver ratioなどと言った場合はこちらを指す。

白銀数編集

1 : 1 + √2の白銀比において

 

は、二次方程式 x2 − 2x − 1 = 0 の正のであり、これを白銀数(はくぎんすう、英語: silver number)という。しばしばギリシア文字τ(タウ) で表される[2]。 ふたつの量 a, b (ab より小さいとする)の比が白銀数であるということは、b − 2aa との比が ab との比と等しいということを示している。

一方、このときの白銀比を 1 : (τ − 1) のように定義することがある[2]。これは後述のもう一つの白銀比と一致している。なおこの立場では、青銅比  と定義されている。

数学的性質編集

白銀数の連分数展開は

 

である。

白銀数 rsは有理数に2 の平方根を添加した代数体における代数的整数になっており、 rsの共役数は

 

によって与えられる。任意の自然数 n について、 (rs)n + (rsσ)n有理整数になるが、rsσの絶対値が1/2より小さいため、この有理整数は (rs)nにもっとも近い自然数を与えている。nが大きくなっていくとき (rsσ)n は 0 に収束するから、R/Zにおける (rs)n の像は原点(の像)を唯一の集積点として持ち、特に (rs)nの小数部分は均等に分布していないことがわかる。

一辺の長さが1の正八角形の対角線のうち、二番目に長い対角線の長さである。

三角関数で表すと、

 

等の表記ができる。

1:√2の白銀比編集

 
赤枠の長方形は3つとも 1:√2
 
1 : √2 の白銀比の長方形の長辺を半分に折ってできる長方形は、折る前の長方形と同じ辺の比となっており、折る前と後の長方形について図のように引いた対角線は直角に交わっている。
 
1 : √2 の白銀比の長方形(緑色)の対角線の長さは、当該長方形の短辺の2倍の長さの辺を持つ正三角形(赤色)の高さとなっている。
 
辺の長さが1と√2と(1+√5)/2である三角形は60°の角を持つ。

1 : √2 の白銀比(はくぎんひ)は、1 : √2である。近似値は 1 : 1.414 、約 5 : 7 。紙の寸法などに用いられる。

 

これは先の第2貴金属比としての白銀比から、ちょうど1を引いた値となっている。

白銀長方形と工業規格編集

一辺と他辺が 1:1 + √2 となる長方形白銀長方形(英語: silver rectangle)と呼ぶ。また、1 : √2 の白銀比の長方形も白銀長方形と呼ばれる[2]ため注意が必要だが、こちらはルート長方形とも呼ぶ。以下、混同を防ぐため、1 : 1 + √2 の白銀比の長方形を「1 : 1 + √2 白銀長方形」、1 : √2 の白銀比の長方形を「1 : √2 白銀長方形」とする。

ISO 216規格で定められる紙の寸法は 1 : √2 白銀長方形となっているが、このような紙を向かい合う長辺の中点を結ぶ線分により2分割する(簡単に言うと、短辺を合わせるように折る)と、それもまた 1 : √2 白銀長方形となる、すなわち元の紙と相似となる。例としてA4規格の紙を2分割して得られる長方形がA5規格である。

そもそも   であることから、2倍の等比数列にすると間隔がありすぎる、といったような場合にその半分の等比数列として、他にも数多く利用されている。また、写真レンズの開口比(いわゆる絞り値、F値)の 1, 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, ... という系列のように、対象がパラメタの値の自乗で変化するようなものにも現れることがある。

1 : 1 + √2 白銀長方形と 1 : √2 白銀長方形には相関性がある。1 : 1 + √2 白銀長方形から最大限の大きさの正方形を切り取ったときに残る長方形は 1 : √2 白銀長方形となり、1 : √2 白銀長方形から最大限の大きさの正方形を切り取ったときに残る長方形は 1 : 1 + √2 白銀長方形となる。

白銀長方形の描き方編集

1 : 1 + √2 白銀長方形の描き方は、以下の手順である。

  1. 正方形を描きます。
  2. 底辺を辺ABとし、上辺は辺CDとします。
  3. 点Aを支点に半径が対角線ADと同じ長さの円弧をコンパスにて描きます。
  4. 辺ABを延ばした線とコンパスにて描いた線と交わる点をCとします。
  5. 正方形の辺ABと新たに延ばした線Cを合わせた長さが、白銀比です。
  6. 辺CDも線ACと同じ長さに線を引いて描いた長方形が、1 : 1 + √2 白銀長方形です。

1 : √2 白銀長方形が必要なときは、1 : 1 + √2 白銀長方形から最大限の大きさの正方形を切り取った残りの長方形にて、求められます。

脚注編集

  1. ^ Buitrago, Antonia Redondo (2008). "Polygons, Diagonals, and the Bronze Mean", Nexus Network Journal 9,2: Architecture and Mathematics, p.321-2. Springer Science & Business Media. ISBN 9783764386993
  2. ^ a b c 岩本誠一・江口将生・吉良知文 黄金・白銀・青銅 : 数と比と形と率と

関連項目編集

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Silver Ratio". MathWorld(英語).
  • Hrant Arakelian. Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).