真空解 (一般相対性理論)

一般相対性理論において、真空解 (: vacuum solution) とはアインシュタインテンソル恒等的に零となるローレンツ多様体をいう。アインシュタイン方程式に従えば、このことはエネルギー・運動量テンソル恒等的に零となることを意味し、したがって物質を含む、重力以外のが存在しないことになる。

より一般的な用語としては、ローレンツ多様体のアインシュタインテンソルが零となる領域を真空領域: vacuum region) と呼ぶ。

同値条件編集

アインシュタインテンソルが零になることと、リッチテンソルが零になることが同値関係にあることは数学的事実である。このことは、次に示すようにこれら二つの二階テンソルが互いにトレース反転 (: trace reverse) の関係にあるという事実からの帰結である。

 

ここで、トレース   を用いた。

三つめの同値条件は、リーマン曲率テンソルワイル曲率テンソル英語版とリッチテンソルから構成される項との和へとリッチ分解英語版して得られる。すなわち、ワイル曲率テンソルとリーマン曲率テンソルが   のように一致することと、その領域が真空であることは同値である。

重力場のエネルギー編集

真空領域においては   であるから、一般相対性理論によれば真空領域は全くエネルギーを持たないかに見える。しかし、重力場は仕事をすることができ、 したがって重力場はそれ自体のエネルギーを持つものと考えなければならない。しかし、この重力場エネルギーが正確にどこに存在するのかを決めることは、重力相互作用と「その他の相互作用」を分離するという性質そのものからして、一般相対性理論上技術的に難しい問題である。

重力場そのものがエネルギーを持つという事実から、アインシュタイン方程式の非線形性を理解することができる。重力場の持つエネルギーそのものが、より多くの重力場を生み出そうとするのである。このことは一般相対性理論によれば太陽の外部の重力場がニュートン重力の予言する値よりも大きくなるという帰結をもたらす。

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明示的な真空解として良く知られているものを下に挙げる。

これらは全て、一つもしくは複数のより広い解の分類に属する。

ここに挙げた分類は適切な線形もしくは非線形の実もしくは複素偏微分方程式の解の集合であり、そのいくつかは時には驚くほど緊密な関係性を持つことがある。

これらに加えて、真空pp波時空英語版と呼ばれる重力平面波英語版も存在する。

関連項目編集