移流拡散方程式とは、移流方程式拡散方程式が組み合わされた、それらよりも一般的な流れを表す2階線型偏微分方程式である。

数学的表現編集

物理量φ(t , x )が、速度c で流れ、かつ拡散係数D拡散する場合の移流拡散方程式は次の式で表される:

 

解析解編集

1次元で、係数c , D が定数の移流拡散方程式

 

については、ラプラス変換を利用して解析解を求めることができる[1]。ここで、境界条件として次の単位ステップ関数を仮定する:

 
 

また、初期条件としては次を仮定する:

 

(実質的にt > 0, x > 0 の解にのみ興味がある。)

このとき、解は

 

となる。ここで、erfc(z )は相補誤差関数である。

定常解編集

上記からさらに、定常としたときの解析解はより簡単になる[2]。このとき移流拡散方程式は

 

である。x の範囲は区間 [0, L ] 内とし、境界条件として

 

とする。この時の解析解は

 

ただし

 

と表される。ここでPeペクレ数Péclet number)といい、移流と拡散の比を表す無次元量である。

この解はとても簡単であるため、CFDにおいて解法の評価に用いられる。

参考文献編集

  1. ^ 齋藤大作・星清、1997、移流拡散方程式の解析解(1)、開発土木研究所月報第533号、寒地土木研究所、http://kankyou.ceri.go.jp/houkoku/1997/11.pdf
  2. ^ Joel H. Ferziger; Milovan Perić、小林敏雄、谷口伸行、坪倉誠訳 『コンピュータによる流体力学』 シュプリンガー・フェアラーク東京、2003年、61-62頁。ISBN 4-431-70842-1 

関連項目編集