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積分方程式

未知関数が積分の中に現れるような方程式

積分方程式(せきぶんほうていしき、Integral equation)は、数学において、未知の関数積分の中に現れるような方程式である。積分方程式と微分方程式には密接な関係があり、そのどちらでも問題を定式化することができる場合もある。

積分方程式は次の3種類の分類方法がある。この分類によれば、8種類の積分方程式が存在する。

  1. 積分の上限および下限が固定の場合、フレドホルム積分方程式と呼ばれる。また、積分の上限・下限の片方が変数の場合、ヴォルテラ積分方程式と呼ばれる。
  2. 未知の関数が積分の中にのみ現れる場合、第一種積分方程式と呼ばれ、未知の関数が積分の中にも外にも現れる場合、第二種積分方程式と呼ばれる。
  3. 既知の関数 f (下記参照)が恒等的に 0 の場合、同次積分方程式と呼ばれ、f が 0 でない場合、非同次積分方程式と呼ばれる。

4種類の積分方程式(同次・非同次方程式をまとめた)の例として以下のように書ける。 ただし は未知の関数、f は既知の関数、K は既知の2変数関数で積分核と呼ばれる。λ は未知の係数で、線型代数学における固有値と同じ役割をする。

第一種フレドホルム積分方程式:
第二種フレドホルム積分方程式:
第一種ヴォルテラ積分方程式:
第二種ヴォルテラ積分方程式:

積分方程式は多くの応用において重要である。積分方程式に出会う問題としては、弦や膜、棒における放射エネルギー変換や振動などが挙げられる。振動問題は微分方程式によって解かれることもある。

固有値問題の一般化としての積分方程式編集

ある種の斉次線型積分方程式は、固有値問題の連続極限とみなすことができる。固有値問題は、  を行列、  を固有ベクトル、  を対応する固有値として、

 

と書くことができる。

添字    を連続変数    で置き換えて連続極限を取ると、  に関する総和は   に関する積分、行列   とベクトル   はそれぞれ積分核  固有関数   に置き換えられて、線型斉次第二種フレドホルム積分方程式

 

が得られる。

一般に、 超関数であってもよい。超関数    でのみ台 (support) を持つ場合は、微分方程式の固有値問題に帰着される。

参考文献編集

和書編集

洋書編集

  • Harry Bateman (1910) History and Present State of the Theory of Integral Equations, Report of the British Association.
  • Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. en:CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.
  • M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, Problems and Exercises in Integral Equations, Mir Publishers, Moscow, 1971.

積分方程式に対する数値解析編集

  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Chapter 19. Integral Equations and Inverse Theory". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: en:Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
  • Kendall E. Atkinson The Numerical Solution of integral Equations of the Second Kind. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 1997.

関連項目編集