積分方程式

積分方程式（せきぶんほうていしき、Integral equation）は、数学において、未知の関数が積分の中に現れるような方程式である。積分方程式と微分方程式には密接な関係があり、そのどちらでも問題を定式化することができる場合もある。

積分方程式は次の3種類の分類方法がある。この分類によれば、8種類の積分方程式が存在する。

1. 積分の上限および下限が固定の場合、フレドホルム積分方程式と呼ばれる。また、積分の上限・下限の片方が変数の場合、ヴォルテラ積分方程式と呼ばれる。
2. 未知の関数が積分の中にのみ現れる場合、第一種積分方程式と呼ばれ、未知の関数が積分の中にも外にも現れる場合、第二種積分方程式と呼ばれる。
3. 既知の関数 f （下記参照）が恒等的に 0 の場合、同次積分方程式と呼ばれ、f が 0 でない場合、非同次積分方程式と呼ばれる。

4種類の積分方程式（同次・非同次方程式をまとめた）の例として以下のように書ける。 ただし $\phi$ は未知の関数、f は既知の関数、K は既知の2変数関数で積分核と呼ばれる。λ は未知の係数で、線型代数学における固有値と同じ役割をする。

第一種フレドホルム積分方程式：

$f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,\phi (t)\,dt$

第二種フレドホルム積分方程式：

$\phi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,\phi (t)\,dt$

第一種ヴォルテラ積分方程式：

$f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,\phi (t)\,dt$

第二種ヴォルテラ積分方程式：

$\phi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,\phi (t)\,dt$

積分方程式は多くの応用において重要である。積分方程式に出会う問題としては、弦や膜、棒における放射エネルギー変換や振動などが挙げられる。振動問題は微分方程式によって解かれることもある。

固有値問題の一般化としての積分方程式

ある種の斉次線型積分方程式は、固有値問題の連続極限とみなすことができる。固有値問題は、$\mathbf {M}$ を行列、$\mathbf {v}$ を固有ベクトル、$\lambda$ を対応する固有値として、

$\sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}^{}$

と書くことができる。

添字 $i$、$j$ を連続変数 $x$、$y$ で置き換えて連続極限を取ると、$j$ に関する総和は $y$ に関する積分、行列 $M_{i,j}$ とベクトル $v_{j}$ はそれぞれ積分核 $K(x,y)$ と固有関数 $\varphi (y)$ に置き換えられて、線型斉次第二種フレドホルム積分方程式

$\int \mathrm {d} y\,K(x,y)\varphi (y)=\lambda \varphi (x)$

が得られる。

一般に、$K(x,y)$ は超関数であってもよい。超関数 $K$ が $x=y$ でのみ台 (support) を持つ場合は、微分方程式の固有値問題に帰着される。

参考文献

和書

• 日本数学会：「岩波数学辞典（第3版）」、岩波書店 、ISBN 4-00-080016-7（1985年）。
• 竹内端三：「積分方程式論」、共立出版 (1947年)。NDLJP:1078609
• 吉田耕作：「積分方程式論」、岩波全書、ISBN 4-00-021283-4 (1950年)。
• 溝畑茂：「積分方程式入門」、朝倉書店（1968年）。
• 上村豊：「積分方程式：逆問題の視点から」、共立出版、ISBN 4-320-01691-2 (2001年10月15日)。

洋書

• Harry Bateman: History and Present State of the Theory of Integral Equations, Report of the British Association (1910).
• Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov: Handbook of Integral Equations. en:CRC Press, Boca Raton, ISBN 0-8493-2876-4 (1998).
• M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko: Problems and Exercises in Integral Equations, Mir Publishers, Moscow (1971).
• Smithies, F. : Integral Equations, Cambridge: en:Cambridge University Press, (1958).
• Wazwaz, A. M. : Linear and Nonlinear Integral Equations. Berlin: Springer (2011).
• Kondo, J. : Integral Equations, Oxford, England: Clarendon Press (1992).

非線型積分方程式

• Davis, H. T. : Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations, New York: Dover (1962).
• Precup, R. : Methods in Nonlinear Integral Equations, Springer Science & Business Media (2013).

線型積分方程式

• Kress, R. : Linear Integral Equations, New York: Springer-Verlag (1989).
• Lovitt, W. V. : Linear Integral Equations, New York: Dover (1950).
• Mikhlin, S. G. : Linear Integral Equations, New York: Gordon & Breach (1961).

積分方程式に対する数値解析

• Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P.: chapter 19: "Integral Equations and Inverse Theory", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: en:Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 (2007).
• Kendall E. Atkinson: The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind, Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics (1997).
• Delves, L. M., & Mohamed, J. L. : Computational Methods for Integral Equations, CUP Archive (1988).
• Baker, C. T. H.: The Numerical Treatment of Integral Equations, Oxford, England: Clarendon Press (1977).
• R.S. Anderssen: The Application and Numerical Solution of Integral Equations, Sijthoff & Noordhoff (1980)

関連項目

• ヒルベルト空間
• フレドホルム積分方程式
• ヴォルテラ積分方程式

外部リンク

• 『積分方程式の解き方』 - 高校数学の美しい物語