立方根(りっぽうこん、cubic rootroot of third power)とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根(さんじょうこん)ともいう。

定義編集

積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x3 を満たす xE が存在するとき、xE における a立方根であるという。また、立方根を求めることを開立(かいりゅう)という。

a実数であれば a の立方根は実数の範囲に常にただ一つ存在 し、それを   と表す。

性質編集

  • 正の数 a に対して、
     
  • 1 の虚立方根の一つを ω とすると、もう一つの虚立方根は ω2 であり、ω, ω2 はともに 1 の原始冪根である。また、1 + ω + ω2 = 0 が成り立つ。
 
 
 
 
  • α が 0 でない複素数ならば、α の立方根は常に 3 個あり、それらは複素数平面上で、原点 O を中心とする半径   の円に内接する正三角形の頂点になる。

具体的な数編集

複素数編集

 
複素数の冪根の幾何学的表現

複素数の場合は、実部が最大のものを主要根とする。

 

極形式では

 

ここで rは非負の実数、 の定義域は以下とする(偏角は多価関数のため)。

 ,
 

   ) が主要根となる(-2( )ではない)。

主要根の複素数の偏角の範囲は以下となる。

 
単位円での例

  の主要根の関係を単位円上で示すと( 、偏角   の例)

 
 

脚注編集

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関連項目編集

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Cube Root". MathWorld (英語).