等比数列

隣り合う二項の比が項番号によらず等しい数列
等比級数から転送)

等比数列(とうひすうれつ)または幾何数列(きかすうれつ、: geometric progression, geometric sequence)は、隣り合う2つの項のが項番号によらず等しい数列をいう。各項に共通するその一定の比のことを公比(こうひ、: common ratio)という。

例えば初項が 4, 公比が 3 の等比数列の最初の数項を列挙すると 4, 12, 36, 108, … となる。ある数列について、隣り合う項の比(この場合、12/4, 36/12, 108/36, …)が常に等しいならその数列は等比数列である。

等比数列 {an} について、(定義より公比は 0 でないため)公比 r は任意の n 番目の項とその次の項の比 r = an+1/an から得られる(特に r = 1 の場合は公差が 0等差数列でもある)。等比数列の各項は初項 a と公比 r を用いて具体的に以下のように表せる。

a0 を初項とすれば、n 番目の項 an は以下のように表せる。

これが等比数列の一般項である。

性質編集

等比数列を漸化式で表すと、

 

となる。

公比 rの場合は符号が一項ずつ入れ替わる。r = −|r| と置き換えると、

 

となり、各項は n が奇数なら初項と異符号になり、偶数なら初項と同符号となる。 公比が負の数列として、例えば 3, −6, 12, −24, … なる公比 −2 の等比数列を考えると、その一般項は

 

となる。公比が正であれば全ての項は初項と同じ符号を持つ。

形式的に等比数列の一般項の対数をとると

 

となり、数列 log an は初項 log a 、公差 log r の等差数列になる。

等比数列の連続する3項を小さい順から a, b, c とすると、常に b2 = ac が成り立つ[注 1]

等比数列の和編集

等比数列の初項から第 n 項までの和は以下の式で定義される。

 

r ≠ 1 の場合、(1 − r) を掛けると、

 

となるので、等比数列の和は以下のように変形できる。

 

ただし、r = 1 では

 

である。第 m 項から第 n 項までの和は

 

等比級数編集

等比数列の級数総和)を等比級数または幾何級数と呼ぶ[1]。例えば初項 a, 公比 r の等比級数は以下のように書ける:

 

等比級数は初項が 0 (a = 0)の場合や公比の絶対値が 1 より小さい(|r| < 1)場合に収束する。逆に、初項が 0 でなく(a ≠ 0)公比の絶対値が 1 以上(|r| ≥ 1)の場合には等比級数は発散する。

無限級数は数列の第 n 項までの部分和の極限として定義される。等比級数が収束することは、以下の部分和の極限が収束することから確かめられる。

 

例えば公比 1/2 で初項が 1 の等比級数は 2 に収束する:

 
 
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ という幾何級数が 2 に収束することを幾何学的に示した図。

出典編集

注釈編集

  1. ^ 一般に、a, b, c0 でないとき、 b等比中項と呼ぶ。このとき、a : b = b : c = r が成り立つ。

参考文献編集

関連項目編集

外部リンク編集

  • 竹之内脩等比数列』 - コトバンク
  • 世界大百科事典『等比級数』 - コトバンク
  • Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence". MathWorld (英語).
  • Weisstein, Eric W. "Geometric Series". MathWorld (英語).