約数関数(やくすうかんすう、: divisor function)は、自然数 n変数とする関数で、n の全ての約数を整数乗した数の総和を値にとるものである。

nの約数の個数を表す
σ0(n)≡d(n) のグラフ(n≦250)
nの約数の総和を表す
σ1(n)≡σ(n) のグラフ(n≦250)

定義編集

自然数 n に対して、約数関数 σx(n) とは、n の約数 dx 乗和を値に取る関数である:

 

特に、x = 0 のとき σ0(n)n の約数の個数を表し、d(n)τ(n) と表されることもある。x = 1 のとき σ1(n)n の約数の総和であり、単に省略して σ(n) と表す場合もある。

また、約数関数 σx(n)k階反復

 

と書く。例えば   である。

k = 1 、x = 1 のときはどちらもそれぞれ省略して、σ(n) = σ1(n)(k=x=1の場合)、σ2(n)(k=2,x=1の場合)などと表記する場合もある。

概要編集

σ0(n) の値は、小さい順に次のようになる:

1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4 …(オンライン整数列大辞典の数列 A000005

σ1(n) の値は、小さい順に次のようになる:

1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24 …(オンライン整数列大辞典の数列 A000203

σ2(n) の値は、小さい順に次のようになる:

1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, 122, 210, 170, 250, 260 …(オンライン整数列大辞典の数列 A001157

計算例編集

例えば n = 15 では、

d(15) = σ0(15) = 10 + 30 + 50 + 150 = 4,
σ(15) = σ1(15) = 11 + 31 + 51 + 151 = 24,
σ2(15) = 12 + 32 + 52 + 152 = 260

特徴編集

p素数とすると、p の約数は 1p の 2個のみであるから d(p) = 2, σ(p) = p + 1 となる。また、n を自然数とすると、pn の約数は 1, p, p2, …, pnn + 1個なので d(pn) = n + 1, σ(pn) = (pn+1 − 1)/(p − 1) となる。

d(n) および σ(n)n = 1 のとき最小値 1 をとる。d(n) = n の解は n = 1, 2 の 2 個のみであり、σ(n) = n の解や d(n) = σ(n) の解は n = 1 のみである。n ≥ 3 では 2 ≤ d(n) < n < σ(n) が成り立つ。

約数関数 σx(n)乗法的関数: Multiplicative function)であるが、完全乗法的関数英語版ではない。

 

n素因数分解して以下の式の形で表す。

 

ここで rn素因子の個数、pi はその中で i 番目に小さい素因子、ai は素因数分解で現れる各素因子の指数部である。ここから

 

が導かれる。これは

 

同値である。x = 0 のときは

 

となる。例えば n = pqp, q は素数)とすると、σ(n) = (1 + p)(1 + q) = n + p + q + 1, d(n)=(1 + 1)(1 + 1) = 4 となる。

  • 約数関数から導き出される数列   はその初期値によって異なる発散の仕方をする。( a1 = 1 を除く)
例. a1 = 2 のとき 2, 3, 4, 7, 8, 15, 24, 60, 168, 480, … (オンライン整数列大辞典の数列 A007497)
a1 = 5 のとき 5, 6, 12, 28, 56, 120, 360, 1170, 3276, … (オンライン整数列大辞典の数列 A051572)
a1 = 16 のとき 16, 31, 32, 63, 104, 210, 576, 1651, 1792, … (オンライン整数列大辞典の数列 A257349)
この初期値は 2, 5, 16, 19, 27, 29, 33, 49, 50, 52, 66, 81, 85, 105,… (オンライン整数列大辞典の数列 A257348)

その他の公式編集

オイラーは約数関数が以下のように表されることを示した。[1]

   

なおこの数式で、  のとき   とし、  とする。

約数関数は以下の三角関数を用いた式で表すこともできる。

 

またゼータ関数 ζ(s) とは

 

という関係式をもつ。

σ(n)の増加の割合は以下の式で表される。

 

γ はオイラー定数である。

また、d(n)の増加の割合は以下の式で表される。

 

実際、左辺の上極限記号内の分数の値が最大となるのは   のときで、その値は   であることが知られている[2]。 特に、任意の ε > 0 に対して、d(n) = o(nε) が成り立つ。

  (n > 5040)

が真であるならリーマン予想も真であることが証明されている。つまりこの不等式を満たさない最大の数が 5040 であり[3]、5041 以上の全ての自然数がこの不等式を満たすならばリーマン予想は真である。もしリーマン予想が偽ならこの不等式を満たさない n は無数に存在する。

約数関数の値編集

x=0~21についてのσx(n)の値はオンライン整数列大辞典に数列として掲載されている。

オンライン整数列大辞典に掲載されている約数関数
x 約数関数 σx(n) 値のリスト
0 σ0(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A000005) Table of n, a(n) for n = 1..10000
1 σ1(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A000203) Table of n, a(n) for n = 1..10000
2 σ2(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A001157) Table of n, a(n) for n = 1..10000
3 σ3(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A001158) Table of n, a(n) for n = 1..10000
4 σ4(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A001159) Table of n, a(n) for n = 1..10000
5 σ5(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A001160) Table of n, a(n) for n = 1..10000
6 σ6(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A13954) Table of n, a(n) for n = 1..1000
7 σ7(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A008410) Table of n, a(n) for n = 1..10000
8 σ8(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A013956) Table of n, a(n) for n = 1..1000
9 σ9(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A013957) Table of n, a(n) for n = 1..1000
10 σ10(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A013958) Table of n, a(n) for n = 1..10000
11 σ11(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A013959) Table of n, a(n) for n = 1..10000
12 σ12(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A013960) Table of n, a(n) for n = 1..10000
13 σ13(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A013961) Table of n, a(n) for n = 1..10000
14 σ14(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A015773) Table of n, a(n) for n = 1..10000
15 σ15(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A015774) Table of n, a(n) for n = 1..10000
16 σ16(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A013964) Table of n, a(n) for n = 1..10000
17 σ17(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A013965) Table of n, a(n) for n = 1..10000
18 σ18(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A094470) Table of n, a(n) for n = 1..10000
19 σ19(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A013967) Table of n, a(n) for n = 1..10000
20 σ20(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A013968) Table of n, a(n) for n = 1..10000
21 σ21(n) (オンライン整数列大辞典の数列 A013969) Table of n, a(n) for n = 1..10000

編集

σ(n) < 2n を満たす n不足数、σ(n) = 2n を満たす n完全数、σ(n) > 2n を満たす n過剰数という。

6, 28, 496 などが完全数として知られている。偶数の完全数全体はメルセンヌ素数 2p − 1 に対して 2p−1(2p − 1) と表されるもの全体と一致することが知られている。奇数の完全数が存在するかどうかは古くからの数論の未解決問題として有名である。

このほかにも、約数関数、特に約数の和の関数 σ(n) の値に関しては多くの概念が考察され、多くの未解決問題が提示されている。いくつかの例を挙げる。

関連項目編集

注釈編集

  1. ^ Euler, Leonhard; Bell, Jordan (2004). "An observation on the sums of divisors". arXiv:math/0411587
  2. ^ J. L. Nicolas et G. Robin, Majorations explicites pour le nombre de diviseurs de $N$, Canad. Math. Bull. 26 (1983), 485--492.
  3. ^ σ(5040) = 19344, eγ ・ 5040 log log 5040 = 19237.84...