結合エントロピー

結合エントロピー(けつごうエントロピー、: joint entropy)とは、情報理論における情報量の一種。結合エントロピーは、2つの確率変数の結合した系でのエントロピーを表す。確率変数 があるとき、結合エントロピーは と記される。他のエントロピーと同様、単位対数の底によってビット (bit)、ナット (nat)、ディット (dit) が使われる。

背景編集

確率変数   があるとき、そのエントロピー    の値の不確かさを表す。  について、イベント   が発生する確率が   であるとき、  のエントロピーは次のようになる。

 

もう1つの確率変数   では、イベント   が発生する確率が   であるとする。  のエントロピーは   で表される。

ここで、   が相互に関連したイベントを表しているとき、系全体のエントロピーは   にはならない。例えば、1から8までの整数を1つ選ぶとし、それぞれの整数が選ばれる確率が同じとする。  は選んだ整数が奇数かどうかを表し、  は選んだ整数が素数かどうかを表すとする。1から8の整数のうち半分は偶数であり、同じく半分は素数である。したがって   となる。しかし、選んだ整数が偶数であるとわかっている場合、それが素数である場合は4つのうち1つしかない。つまり、2つの確率変数の分布は関連している。従って系全体のエントロピーは2ビットよりも小さくなる。

定義編集

ここで、考えられる結果の「対」   を全て考慮する。

それぞれの対の発生確率を   としたとき、結合エントロピーは次のようになる。

 

上記の例では、1を素数と見なしていない。従って、結合確率分布は次のようになる。

 
 

以上から、結合エントロピーは次のようになる。

 

特性編集

部分エントロピーよりも大きい編集

結合エントロピーは、常に元の系のエントロピー以上となる。新たな系を追加しても不確かさが減ることはない。

 

この不等式が等式になるのは、   の(決定的)関数になっている場合だけである。

   の(決定的)関数であるとき、以下も成り立つ。

 

劣加法性編集

2つの系をまとめて考えたとき、それぞれの系のエントロピーの総和より大きなエントロピーには決してならない。これは劣加法性 (subadditivity) の一例である。

 

この不等式が等式になるのは、  確率論的独立性がある場合だけである。

限界編集

他のエントロピーと同様、常に   が成り立つ。

他のエントロピー尺度との関係編集

結合エントロピーは、次のように条件付きエントロピーの定義に使われる。

 

また、次のように相互情報量の定義にも使われる。

 

参考文献編集

  • Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. pp. 613-614. ISBN 0-486-41147-8