K絶対ガロア群 GK(ぜったいガロアぐん、: absolute Galois group)とは、数学の用語で、K分離閉包 KsepK 上のガロア群のことである。あるいは、K代数的閉包の自己同型であって K を固定するもの全てからなる群と言っても同じことである。絶対ガロア群は副有限群であり、内部自己同型による違いを除いて well-defined である。

実数R の絶対ガロア群は、複素数CR の分離閉包で [C:R] = 2 なので、複素共役で生成される位数2の巡回群である。

K完全体であれば KsepK代数的閉包 Kalg と等しい。K標数0の場合や、K有限体の場合がこれにあたる。

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  • 代数的閉体の絶対ガロア群は単位元のみからなる自明な群である。
  • 実数体の絶対ガロア群は複素共役と恒等写像からなる位数2の巡回群である。これは、複素数C が 実数体 R の分離閉包であり、[C:R] = 2 であることから分かる。
  • 有限体 K の絶対ガロア群は次の群
 
と同型である(記号については射影極限参照)。フロベニウス自己同型 Fr は GK の標準的な位相的生成元である。Fr は、qK の元の数とすると、Fr(x) = xqxKalg の元)で定義される写像である。

未解決問題編集

  • 有理数体の絶対ガロア群を直接的に記述する方法が知られていない。有理数体の絶対ガロア群の元で他の元と区別できるよう名前が付けられているのは単位元と複素共役だけである[9]ベールイの定理によりこの絶対ガロア群はグロタンディーク子供のデッサン(曲面上の地図)に忠実に作用するので、代数体のガロア理論を"見る"ことはできる。
  • 有理数体の最大アーベル拡大 K の絶対ガロア群は自由副有限群であろうと予想されている(シャファレヴィッチの予想[10]

その他の結果編集

  • 全ての副有限群はあるガロア拡大のガロア群となる[11]が、全ての副有限群が絶対ガロア群となるわけではない。例えば、有限群で絶対ガロア群となるものは単位元のみの自明な群か位数2の群だけであることがアルティン・シュライアーの定理から分かる。

脚注編集

参考文献編集

  • Douady, Adrien (1964), “Détermination d'un groupe de Galois”, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 258: 5305–5308, MR0162796, https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4012p/f958.item# 
  • Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008), Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, 11 (3rd ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl 1145.12001 
  • Haran, Dan; Jarden, Moshe (2000), “The absolute Galois group of C(x)”, Pacific Journal of Mathematics 196 (2): 445–459, doi:10.2140/pjm.2000.196.445, MR1800587 
  • Harbater, David (1995), “Fundamental groups and embedding problems in characteristic p”, Recent developments in the inverse Galois problem (Seattle, WA, 1993), Contemporary Mathematics, 186, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 353–369, MR1352282 
  • Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), “Die Struktur der absoluten Galoisgruppe  -adischer Zahlkörper”, Inventiones Mathematicae 70: 71–78, Bibcode1982InMat..70...71J, doi:10.1007/bf01393199 
  • Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, Zbl 0948.11001, MR1737196 
  • Pop, Florian (1995), “Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture”, Inventiones Mathematicae 120 (3): 555–578, Bibcode1995InMat.120..555P, doi:10.1007/bf01241142, MR1334484