メインメニューを開く

総乗

積の定義される集合における多項演算

総乗(そうじょう)とは、の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。

定義編集

結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a1, a2, …, an の総乗を

 

などと表す。記号 ギリシャ文字パイ (Pi) であり、これは積 (Product) の頭文字 P に相当する文字である。

有限集合 E に対し、E濃度n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n} で添え字付けて、E の元の全体を I を添え字集合とする元の列 (xi)iI と思うことができる。この列の総乗を

 

などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1M を持つとき、空集合を添え字集合とする列(空な列)の総乗は 1M であるとする。(空積も参照)

 

積が非結合的な場合編集

積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a1 × a2 × … × an という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。

  • p1 = a1,
  • pk+1 = pk × ak+1

このとき、pn = k=1n ak と書くことにすると、

 

の意味になる。このようなものはあまり応用がない。

無限乗積編集

総和と同様に、可算無限列 (xn)nN の総乗

 

を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。

定義編集

実数複素数からなる可算列 (xn)nN の無限乗積を定義する。無限乗積  収束するとは2条件

  • ある番号 m から先では常に xn ≠ 0 (n > m)[1]
  • 部分積 pn := xm+1xn (n > m) がゼロでない値 Pmn → ∞ の極限で収束する

が成り立つことをいう[2][3]。無限乗積   が収束するとき、その値を

 

と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、limn→∞ xn = 1 が成り立つ[4]

また数列 (xn)nN に対して無限乗積   が収束するとき、無限乗積  絶対収束するという[5][3]。無限乗積   が絶対収束するのは無限級数  絶対収束するとき、かつそのときに限る[6][3]

編集

三角関数の無限乗積展開[3]

 
 
 
 

ウォリス積[7][8]

 

オイラー乗積

 

ガンマ関数[3][9][10]

 

( オイラーの定数である)[3][9]

qポッホハマー記号 [11][12][13]

 

qガンマ関数[12][13][14]

 

行列を使ってqガンマ関数を定義することもできる[15]

編集

  1. ^ つまり、有限個の例外を除いて数列の値はゼロでない。
  2. ^ Konrad 1956, p. 93, Definition 3.7.1.
  3. ^ a b c d e f 神保道夫、複素関数入門、岩波書店
  4. ^ Konrad 1956, p. 93, Theorem 3.7.2.
  5. ^ Konrad 1956, p. 96.
  6. ^ Konrad 1956, p. 96, Theorem 3.7.6.
  7. ^ Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Wallis Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html
  8. ^ A proof of the Wallis product formula, Takuya Ooura
  9. ^ a b 時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版
  10. ^ Weisstein, Eric W. "Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
  11. ^ Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol
  12. ^ a b Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.
  13. ^ a b Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.
  14. ^ Weisstein, Eric W. "q-Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/q-GammaFunction.html
  15. ^ Salem, A. (2012). On a  -gamma and a  -beta matrix functions. Linear and Multilinear Algebra, 60(6), 683-696.

参考文献編集

  • Konrad, K. (1956). Infinite Sequences and Series. Dover. MR79110. Zbl 0070.05807. https://books.google.com/books?id=u4QUAwAAQBAJ. 

関連項目編集