数学の可換環論において、被約環(ひやくかん、: reduced ring)とは、0でないベキ零元をもたないのことである(ベキ零元とは何乗かすると0になる元のことである)。被約環は可換環論代数幾何学で役割を果たす。可換環上の可換多元環は環として被約なとき被約多元環と呼ばれる。被約スキームとは茎が被約なスキームである。

この記事は可換環論に関するものである。とくに、環は単位元をもち可換なものを考える。環準同型は単位元を単位元に写す。詳細は可換環論を見られたい。

定義編集

被約環編集

R被約であるとは、すべての rR に対して、

 

が成り立つときをいう。これは次と同値である。

  • すべての rR に対して次が成り立つ:
     
  • 環のベキ零根基は零イデアルである:
     

被約スキーム編集

スキーム   が被約であるとは、任意の開集合   に対して環   がベキ零元をもたないときをいう。これは次と同値である。すべての   に対して局所環(茎)

 

が被約である。

性質編集

  • 被約性は局所的な性質である。すなわち:
    R が被約であることと、すべての極大イデアル   に対して   が被約であることは同値である。

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  •   や体上のすべての多項式環は被約である。
  •   は被約である。
  • すべての整域は被約である。逆は成り立たない。
  •   は被約であるが、  はベキ零元   をもつので被約でない。一般に、  が被約であることと n が 0 または square-free な整数であることは同値である。
  •   は被約でない。ベキ零元   をもつからである。

参考文献編集