複素数の偏角

数学において、複素数の偏角（へんかく、英: argument of complex）とは、複素数平面上で複素数が表す点の動径が表す一般角のことである。複素数 z の偏角は記号で arg z で表す。偏角はラジアンで表す。

複素数平面での複素数の絶対値 r, 偏角 φ。

複素数を極形式表示することで、絶対値と偏角が得られる。これにより、複素数の乗除が簡明に行うことができる。

複素数に対する偏角は、2π の任意の整数倍を足す分だけ表し方がある。つまり、多価関数である。そこで表示を一意にするには、主値を決め、区間 (−π, π] などに制限する。

2π の任意の整数倍の差を除いて次の等式が成り立つ：

arg zw ≡ arg z + arg w

arg z/w ≡ arg z − arg w

(何れも mod 2π)

定義

偏角 φ の2つの選び方

複素数 z = x + yi の偏角は、arg z と書かれ、正の実軸から動径 Oz までの角度を反時計回りに測った角度である。弧度法で表示する。時計回りに測ると負になる。

複素数に対する偏角の表示を一意にするために、主値を区間 (−π, π] に制限する。[0, 2π) にすることもある。

主値を (−π, π] にすると、逆正接関数 arctan を用いて次のように表せる：

$\arg z={\begin{cases}\arctan {\frac {y}{x}}&{\text{if }}x>0\\\arctan {\frac {y}{x}}+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan {\frac {y}{x}}-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\\{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=y=0\end{cases}}$

主値を [0, 2π) にするには、上記の定義で、負となる偏角の値に対しては 2π を加えることにすればよい。

偏角を「位相」、振幅と呼んだりすることもある。

基本的な性質

• $\cos \arg z=\operatorname {Re} z$
• $\sin \arg z=\operatorname {Im} z$
• $\arg {\overline {z}}=-\arg z$
• $\arg 0$ は不定

主値をとる偏角

1 + i（青点）の主値 Arg は π/4 である。赤い線は分岐切断である。

主値 (−π, π] における偏角の値を、記号で Arg z（最初の文字を大文字）で表すことがある。表記には揺れがあり、arg と Arg が文献によって逆になることもあることに注意。

$\arg z=\{\operatorname {Arg} z+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}$

$\operatorname {Arg} z=\{\arg z-2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \ \land (-\pi <\operatorname {Arg} z\leq \pi )\}$

数値計算

複素数 z = x + yi の偏角は逆正接関数 arctan y/x で表せる。

x > 0 のとき、すなわち −π/2 < Arg z < π/2 のとき

Arg z = arctan y/x

が成り立つが、x > 0 以外の場合の偏角を逆正接関数で表すには、場合分けが必要である。x < 0 の場合はさらに y > 0 と y < 0 の場合に分ける。

$\operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}\arctan {\frac {y}{x}}&{\text{if }}x>0\\\arctan {\frac {y}{x}}+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan {\frac {y}{x}}-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\\{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=y=0\end{cases}}$

上半平面、下半平面ごとに表示することもできる：

$\operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}-\arctan {\frac {x}{y}}&{\text{if }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}-\arctan {\frac {x}{y}}&{\text{if }}y<0\\0&{\text{if }}x>0{\text{ and }}y=0\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0\\{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=y=0\end{cases}}$

Arg の主値を区間 [0, 2π) とする変種では、値が負のときに値に 2π を足すことで得られる。

正接の半角公式 $\tan {\tfrac {\theta }{2}}={\tfrac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}$ を用いると、1つの計算式で表せる：

$\operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}2\arctan {\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,+x}}&{\text{if }}x>0{\text{ or }}y\neq 0\\0&{\text{if }}x>0{\text{ and }}y=0\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0\\{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=y=0\end{cases}}$

ただし、この表示は、計算の精度が上記より下がる。

この表示は、x < 0, y = 0 の近くでは 不定形 0/0 に近づき、浮動小数点の計算において、計算が不安定となり、オーバーフローする可能性がある。この範囲でのオーバーフローを避けるには、次の計算式が使われる：

$\operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}2\arctan {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,-x}{y}}&{\text{if }}y\neq 0\\0&{\text{if }}x>0{\text{ and }}y=0\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0\\{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=y=0\end{cases}}$

主値 Arg は、プログラミング言語の数学ライブラリでは関数 atan2 あるいはその変種の言語を用いて多くの通常利用可能である。atan2(y, x) の主値は区間 (−π, π] である。

積・商の偏角

2つの複素数の乗除は、極形式表示することにより、簡明に行うことができる。複素数 z₁, z₂ の極形式表示を

z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁)

z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂)

とすると、

• $\arg z_{1}z_{2}\equiv \arg z_{1}+\arg z_{2}{\pmod {2\pi }}$
• $\arg {\frac {z_{1}}{z_{2}}}\equiv \arg z_{1}-\arg z_{2}{\pmod {2\pi }}$

z ≠ 0 で n が整数のとき、

$\arg z^{n}\equiv n\arg z{\pmod {2\pi }}$

例

${\begin{aligned}\arg(2+i)+\arg(3+i)&=\arg(2+i)(3+i)\\&=\arg(5+5i)\\&\equiv {\frac {\pi }{4}}{\pmod {2\pi }}\quad //\end{aligned}}$

文献

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable (3rd ed.). New York;London: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1 
• Ponnuswamy, S. (2005). Foundations of Complex Analysis (2nd ed.). New Delhi;Mumbai: Narosa. ISBN 978-81-7319-629-4 
• Beardon, Alan (1979). Complex Analysis: The Argument Principle in Analysis and Topology. Chichester: Wiley. ISBN 0-471-99671-8 
• Borowski, Ephraim; Borwein, Jonathan (2002) [1st ed. 1989 as Dictionary of Mathematics]. Mathematics. Collins Dictionary (2nd ed.). Glasgow: HarperCollins. ISBN 0-00-710295-X 

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Complex Argument". MathWorld (英語).