数学 において、複素数 の偏角 (へんかく、英 : argument of complex )とは、複素数平面 上で複素数が表す点の動径 が表す一般角 のことである。複素数 z の偏角は記号で arg z で表す。偏角はラジアン で表す。
複素数を極形式表示することで、絶対値 と偏角が得られる。これにより、複素数の乗除が簡明に行うことができる。
複素数に対する偏角は、2π の任意の整数倍を足す分だけ表し方がある。つまり、多価関数 である。そこで表示を一意にするには、主値 を決め、区間 (−π , π ] などに制限する。
2π の任意の整数倍の差を除いて次の等式が成り立つ:
arg zw ≡ arg z + arg w
arg z / w ≡ arg z − arg w
(何れも mod 2π )
複素数 z = x + yi の偏角 は、arg z と書かれ、正の実 軸 から動径 Oz までの角度を反時計回りに測った角度である。弧度法 で表示する。時計回りに測ると負になる。
複素数に対する偏角の表示を一意にするために、主値 を区間 (−π , π ] に制限する。[0, 2π ) にすることもある。
主値を (−π , π ] にすると、逆正接関数 arctan を用いて次のように表せる:
arg
z
=
{
arctan
y
x
if
x
>
0
arctan
y
x
+
π
if
x
<
0
and
y
≥
0
arctan
y
x
−
π
if
x
<
0
and
y
<
0
π
2
if
x
=
0
and
y
>
0
−
π
2
if
x
=
0
and
y
<
0
indeterminate
if
x
=
y
=
0
{\displaystyle \arg z={\begin{cases}\arctan {\frac {y}{x}}&{\text{if }}x>0\\\arctan {\frac {y}{x}}+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan {\frac {y}{x}}-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\\{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=y=0\end{cases}}}
主値を [0, 2π ) にするには、上記の定義で、負となる偏角の値に対しては 2π を加えることにすればよい。
偏角を「位相 」[1] 、振幅[2] と呼んだりすることもある。
基本的な性質 編集
cos
arg
z
=
Re
z
{\displaystyle \cos \arg z=\operatorname {Re} z}
sin
arg
z
=
Im
z
{\displaystyle \sin \arg z=\operatorname {Im} z}
arg
z
¯
=
−
arg
z
{\displaystyle \arg {\overline {z}}=-\arg z}
arg
0
{\displaystyle \arg 0}
は不定
主値をとる偏角 編集
1 + i (青点)の主値
Arg は
π / 4 である。赤い線は分岐切断である。
主値 (−π , π ] における偏角の値を、記号で Arg z (最初の文字を大文字)で表すことがある。表記には揺れがあり、arg と Arg が文献によって逆になることもあることに注意。
arg
z
=
{
Arg
z
+
2
π
n
∣
n
∈
Z
}
{\displaystyle \arg z=\{\operatorname {Arg} z+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}}
Arg
z
=
{
arg
z
−
2
π
n
∣
n
∈
Z
∧
(
−
π
<
Arg
z
≤
π
)
}
{\displaystyle \operatorname {Arg} z=\{\arg z-2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \ \land (-\pi <\operatorname {Arg} z\leq \pi )\}}
複素数 z = x + yi の偏角は逆正接関数 arctan y / x で表せる。
x > 0 のとき、すなわち −π / 2 < Arg z < π / 2 のとき
Arg z = arctan y / x が成り立つが、x > 0 以外の場合の偏角を逆正接関数で表すには、場合分けが必要である。x < 0 の場合はさらに y > 0 と y < 0 の場合に分ける。
Arg
(
x
+
i
y
)
=
{
arctan
y
x
if
x
>
0
arctan
y
x
+
π
if
x
<
0
and
y
≥
0
arctan
y
x
−
π
if
x
<
0
and
y
<
0
π
2
if
x
=
0
and
y
>
0
−
π
2
if
x
=
0
and
y
<
0
indeterminate
if
x
=
y
=
0
{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}\arctan {\frac {y}{x}}&{\text{if }}x>0\\\arctan {\frac {y}{x}}+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan {\frac {y}{x}}-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\\{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=y=0\end{cases}}}
上半平面、下半平面ごとに表示することもできる:
Arg
(
x
+
i
y
)
=
{
π
2
−
arctan
x
y
if
y
>
0
−
π
2
−
arctan
x
y
if
y
<
0
0
if
x
>
0
and
y
=
0
π
if
x
<
0
and
y
=
0
indeterminate
if
x
=
y
=
0
{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}-\arctan {\frac {x}{y}}&{\text{if }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}-\arctan {\frac {x}{y}}&{\text{if }}y<0\\0&{\text{if }}x>0{\text{ and }}y=0\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0\\{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=y=0\end{cases}}}
Arg の主値を区間 [0, 2π ) とする変種では、値が負のときに値に 2π を足すことで得られる。
正接の半角公式 (英語版 )
tan
θ
2
=
sin
θ
1
+
cos
θ
{\displaystyle \tan {\tfrac {\theta }{2}}={\tfrac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}}
を用いると、1つの計算式で表せる:
Arg
(
x
+
i
y
)
=
{
2
arctan
y
x
2
+
y
2
+
x
if
x
>
0
or
y
≠
0
0
if
x
>
0
and
y
=
0
π
if
x
<
0
and
y
=
0
indeterminate
if
x
=
y
=
0
{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}2\arctan {\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,+x}}&{\text{if }}x>0{\text{ or }}y\neq 0\\0&{\text{if }}x>0{\text{ and }}y=0\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0\\{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=y=0\end{cases}}}
ただし、この表示は、計算の精度が上記より下がる。
この表示は、x < 0, y = 0 の近くでは 不定形 0 / 0 に近づき、浮動小数点 の計算において、計算が不安定となり、オーバーフロー する可能性がある。この範囲でのオーバーフローを避けるには、次の計算式が使われる:
Arg
(
x
+
i
y
)
=
{
2
arctan
x
2
+
y
2
−
x
y
if
y
≠
0
0
if
x
>
0
and
y
=
0
π
if
x
<
0
and
y
=
0
indeterminate
if
x
=
y
=
0
{\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)={\begin{cases}2\arctan {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,-x}{y}}&{\text{if }}y\neq 0\\0&{\text{if }}x>0{\text{ and }}y=0\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0\\{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=y=0\end{cases}}}
主値 Arg は、プログラミング言語の数学ライブラリでは関数 atan2
あるいはその変種の言語を用いて多くの通常利用可能である。atan2(y , x ) の主値は区間 (−π , π ] である。
積・商の偏角 編集
2つの複素数の乗除は、極形式表示することにより、簡明に行うことができる。複素数 z 1 , z 2 の極形式表示を
z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 )
z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 )とすると、
arg
z
1
z
2
≡
arg
z
1
+
arg
z
2
(
mod
2
π
)
{\displaystyle \arg z_{1}z_{2}\equiv \arg z_{1}+\arg z_{2}{\pmod {2\pi }}}
arg
z
1
z
2
≡
arg
z
1
−
arg
z
2
(
mod
2
π
)
{\displaystyle \arg {\frac {z_{1}}{z_{2}}}\equiv \arg z_{1}-\arg z_{2}{\pmod {2\pi }}}
z ≠ 0 で n が整数のとき、
arg
z
n
≡
n
arg
z
(
mod
2
π
)
{\displaystyle \arg z^{n}\equiv n\arg z{\pmod {2\pi }}}
例
arg
(
2
+
i
)
+
arg
(
3
+
i
)
=
arg
(
2
+
i
)
(
3
+
i
)
=
arg
(
5
+
5
i
)
≡
π
4
(
mod
2
π
)
/
/
{\displaystyle {\begin{aligned}\arg(2+i)+\arg(3+i)&=\arg(2+i)(3+i)\\&=\arg(5+5i)\\&\equiv {\frac {\pi }{4}}{\pmod {2\pi }}\quad //\end{aligned}}}
^ Dictionary of Mathematics (2002). phase .
^ Knopp, Konrad ; Bagemihl, Frederick (1996). Theory of Functions Parts I and II . Dover Publications. p. 3. ISBN 0-486-69219-1
Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable (3rd ed.). New York;London: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1
Ponnuswamy, S. (2005). Foundations of Complex Analysis (2nd ed.). New Delhi;Mumbai: Narosa. ISBN 978-81-7319-629-4
Beardon, Alan (1979). Complex Analysis: The Argument Principle in Analysis and Topology . Chichester: Wiley. ISBN 0-471-99671-8
Borowski, Ephraim; Borwein, Jonathan (2002) [1st ed. 1989 as Dictionary of Mathematics ]. Mathematics . Collins Dictionary (2nd ed.). Glasgow: HarperCollins . ISBN 0-00-710295-X
外部リンク 編集