貴金属比

黄金比・白銀比

数学において、貴金属比(ききんぞくひ、英語: metallic ratio)とは、

n は自然数)

で表されるのことである。

線分a : b が第n貴金属比であるとは、

が成り立つことを意味する。

貴金属数(ききんぞくすう、英語: metallic number)という。第n貴金属数 Mn は、逆数との自然数 n である正の実数、つまり

n は自然数)

で特徴付けられる。

貴金属数編集

貴金属数
n n貴金属数 小数展開 オンライン整数列大辞典 別名
0   1
1   1.6180339887… A001622 黄金数
2   2.4142135623… A014176 白銀数
3   3.3027756377… A098316 青銅数
4   4.2360679774… A098317
5   5.1925824035… A098318
6   6.1622776601… A176398
7   7.1400549446… A176439
8   8.1231056256… A176458
9   9.1097722286… A176522
n  

自然数 n に対して、n 貴金属数は、二次方程式 x2nx − 1 = 0 の正の解であり、

 

である。

貴金属数の累乗編集

連分数表示編集

貴金属数の連分数表示は

 

である。

数列の商の極限編集

黄金数(第1貴金属数)が、フィボナッチ数列の隣接2項の商の極限で表されるように、一般に第 n 貴金属数にも、隣接2項の商の極限となる数列が存在する。

数列 {Mk} を、漸化式

 

で定義すると、この一般項は、第 n 貴金属数を μ として、

 

で表される。このとき、この数列の隣接2項の商は、k → ∞ のときに μ に収束する。すなわち、

 

が成り立つ。

青銅比編集

青銅比(せいどうひ、英語: bronze ratio)は、

 

である。近似値は 1 : 3.303。貴金属比の一つ(第3貴金属比)。

青銅比において

 

は、二次方程式 x2 − 3x − 1 = 0 の正の解であり、これを青銅数(せいどうすう、英語: bronze number)という。

青銅数を連分数で表すと

 

となる。

関連項目編集