超幾何関数

超幾何級数で定義される特殊関数

超幾何関数(ちょうきかかんすう、: hypergeometric function)は以下の超幾何級数で定義される特殊関数である。

ただし、(x)nポッホハマー記号で表した昇冪 (x)0 = 1(x)n = x (x+1) (x+2)…(x+n−1) である。

概要編集

超幾何関数は多くの初等関数特殊関数を包含する。

対数関数逆三角関数

 

完全楕円積分

 

オイラー積分表示編集

ガウスの超幾何関数はオイラー積分で表される[1][2]

 

これは

 

として導かれる。

超幾何定理編集

ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示に を代入するとガウスの超幾何定理を得る[2][3]

 

となる。更に を代入するとヴァンデルモンドの恒等式英語版を得る[4]

 

超幾何微分方程式編集

脚注編集

  1. ^ 原岡喜重. (2002). 超幾何関数. 朝倉書店.
  2. ^ a b 時弘哲治. (2006). 工学における特殊関数. 共立出版.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Gauss's Hypergeometric Theorem". MathWorld (英語).
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Chu-Vandermonde Identity". MathWorld (英語).

参考文献編集

関連項目編集

外部リンク編集