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超弾性(ちょうだんせい、Hyperelasticity)とは、物体を構成する物質の力学的特性の数理的表現のひとつであり、ひずみエネルギー密度関数(単位体積あたりのひずみエネルギーを表す弾性ポテンシャル)を有することが特徴である。超弾性を有する物質を超弾性体とよび、ゴムの最も簡易なモデルとして登場したことに由来して、数十%~数百%の大ひずみ状態を想定している。

連続体力学
BernoullisLawDerivationDiagram.svg


構成則編集

弾性とは、ある位置 の応力がそこの変形勾配 で決まる性質を表す。このときの応力は、第一ピオラ-キルヒホッフ応力 を用いると、

 

と書ける。

特別な場合として、ある変形区間での応力による仕事が、初期 における状態と における状態のみに依存して、変形の経路に非依存なとき、この性質を超弾性という。経路非依存性より、以下に示すポテンシャル関数 が得られる。

 
 

 と考えると、 

 

と書ける。 これを: と比較すると、 

 

と書ける。結局、

 

と表される。ここで、  より、  の関数として表す。

 

 より、第二ピオラ-キルヒホッフ応力 について同様の式展開を行うと、

 
 

となる。

非圧縮性を有する場合編集

まず、 で表記した の式を次のように変形する。

 

非圧縮性を有することから、  に代入して、

 

を得る。二つの式を比較して、

 

を得る。今、 は任意の係数を表す。微圧縮性の場合は のままの方が便利なので、 を代入していない。変形すると、

 

ここで、 と定義すると、

 

上の結果から、  

 

のときにのみ一致する。これは、 となるときに成立する。ここで、 によって新たな関数 を定義する。 を用いると、 となることが次のように示される。

 

ここで、  を用いた。

非圧縮性の場合、  で代替できるため、 の式は次のように表される。

 

偏差成分 は、

 

である。通常は、  は等しくないが、非圧縮性を有する場合、 より成立する。

参考文献編集

  • 京谷孝史『よくわかる連続体力学ノート』森北出版、2008年12月。ISBN 978-4-627-94811-2
  • 社団法人 土木学会 応用力学委員会 編:いまさら聞けない計算力学の常識,丸善,2008.
  • Bonet, Javier; Wood, Richard D. (2008). Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis (2nd edition ed.). Cambridge University Press.