離心率ベクトル

天体力学における離心率ベクトル $\mathbf {e}$ とは、軌道の遠点から近点への向きに平行で、大きさが軌道離心率と等しいベクトルである。ケプラー則に従う軌道では、離心率ベクトルは保存する。離心率ベクトルは、摂動下での真円に近い軌道の解析に有用である。このとき、非ケプラー的な摂動は離心率ベクトルを連続的に変化させる。

表現

離心率ベクトル $\mathbf {e}$ は次の式で与えられる：

$\mathbf {e} ={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}-{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}=\left({\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{\mu }}-{\frac {1}{|\mathbf {r} |}}\right)\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} }{\mu }}\mathbf {v} .$

2つ目の等号は次の恒等式から従う：

$\mathbf {v} \times (\mathbf {r} \times \mathbf {v} )=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} .$

ここで、

• $\mathbf {r}$：位置ベクトル
• $\mathbf {v}$：速度ベクトル
• $\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v}$：単位質量当たりの角運動量ベクトル
• $\mu =GM$：万有引力定数と主星質量の積

である。

参照

• 軌道

• ケプラーの法則
• 離心率
• ルンゲ=レンツベクトル