根二乗平均速度

根二乗平均速度（こんにじょうへいきんそくど、英: root-mean-square speed）とは、速度の絶対値の二乗平均平方根、すなわち速度の大きさの二乗 v ² の統計集団平均 $\langle v^{2}\rangle$ の平方根 ${\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}$ である。ここで速度 v の大きさ v は v の内積によって定められる。

v=|{\boldsymbol {v}}|:={\sqrt {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}}}\,.

根二乗平均速度は気体分子運動論などの議論において現れる。

速度の分散 $|\sigma ({\boldsymbol {v}})|^{2}$ は速度の平均 $\langle {\boldsymbol {v}}\rangle$ と速度の二乗平均 $\langle v^{2}\rangle$ を用いて以下のように書き表すことができる。

|\sigma ({\boldsymbol {v}})|^{2}=\langle v^{2}\rangle -\langle {\boldsymbol {v}}\rangle \cdot \langle {\boldsymbol {v}}\rangle \,.

もしも速度の平均 $\langle {\boldsymbol {v}}\rangle$ が 0 ならば、二乗平均 $\langle v^{2}\rangle$ は分散と一致する。このとき根二乗平均速度 ${\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}$ は速度のゆらぎの大きさ $|\sigma ({\boldsymbol {v}})|$ に等しい。

{\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=|\sigma ({\boldsymbol {v}})|\quad (\langle {\boldsymbol {v}}\rangle ={\boldsymbol {0}}).

従って根二乗平均速度から、巨視的な流れがないような系において、熱的なゆらぎに起因する速度の大きさを評価することができる。

例編集

気体分子運動論編集

気体分子運動論における、単原子分子の二乗平均速度は次のように表される。

{\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}\,.

ここで、R ≈ 8.314 J/(K · mol) は気体定数、T は熱力学温度、M は分子量である。ボルツマン定数 k _B ≈ 1.381 × 10^-23 J/K とアヴォガドロ定数 N _A ≈ 6.022 × 10²³ /mol, および分子質量 m を用いると、ボルツマン定数と分子量の定義より、