位相幾何学において、CW複体とは、ホモトピー理論の要請を満たすためにJ. H. C. Whiteheadによって導入された位相空間の一種である。この空間は、単体複体よりも広義の概念であり、いくつかの優れた圏論的特性を備える一方、特に非常に小さい複体における計算で役立つ連結性を有する。

構成編集

CW複体は胞体 (cell)と呼ばれる基本要素で構成され、より厳密には、胞体がどのようにトポロジー的に張り合わせられるかを規定する。CW複体のCは「閉包有限性」(closure finite)[1]を表し、Wは「弱い位相」(weak topology)を表す。

n次元の閉胞体とは、n次元位相空間上の閉球体が接着写像により作る像を指す。一例として、n次元空間における単体 (三次元空間なら四面体)は閉胞体であり、より一般的に言えば、凸超多面体が閉胞体に対応する。一方で、n次元の開胞体は、n次元空間上の開球体が接着写像により作る像を指す。また、0次元の開(および閉)胞体は、一点空間となる。閉包有限性とは、各閉胞体が開胞体の有限個の集合によって被覆されていることを指す。これは逆の言い方では、各閉胞体が有限個の他の開胞体のみと交叉することを意味する。

CW複体は、ハウスドルフ空間 Xであって、次の2つの性質を満たす開胞体への分割を指す。この時、分割に現れる各開胞体の次元は違ってもよく、すなわち、各開胞体は次元の異なる開球体と同相であって良い。

  • Xの分割に含まれるn次元の開胞体Cに対して、n次元の閉球体からの連続写像fが存在し、さらに以下の2つの条件を満たす (この条件が閉包有限性に対応する)。
    • 連続写像fの定義域を上記の閉球体の内部に制限した時、写像fは開胞体Cへの同型写像である。
    • 閉球体の境界は、Xの分割に含まれる有限個の胞体の境界へと写像され、この有限個の胞体の次元がいずれもn以下である。
  • Xに含まれる胞体の閉包とXのとある部分集合の交叉が閉集合となる場合に限り、そのXの部分集合が閉集合になる (この条件が弱い位相に対応する)。

正則CW複体編集

とあるn次元の閉球体からCW複体全体への連続写像について、その写像の値域をXの分割に含まれる各開胞体Cの閉包に限定すると、その写像fが同型写像となる場合、このCW複体を正則であるという。

相対CW複体編集

CW複体の定義ではXの分割に現れるXの部分集合は全て胞体でなければならず、すなわち、各部分集合はとあるn次元空間上の開球体と同相でなければならなかった。これに対して、相対CW複体では、Xの分割に現れる部分集合のうち1つだけは胞体の性質を保つ必要がなく、この胞体の性質を持たない部分集合を特に-1次元の胞体として取り扱う。[1][2][3][4]

編集

  • 実数の標準CW構造 として、0スケルトンの整数  がある。そして1セルとして区間  がある。同様に、上の標準CW構造  からの0セルと1セルの積である立方体セル  がある。さらに、標準の立方格子 セル  がる。
  • 多面体 はCW複体。
  • グラフは1次元のCW複体。三価グラフは、一般的な 1次元CW複体と見なすことができる。具体的には、X が1次元のCW複体である場合、1セルの添字写像は2点空間からX への写像  、この写像はXを 0スケルトンから切り離す。 そして  Xの 0価は頂点。
  • 無限次元ヒルベルト空間 はCW複体でない。これはベール空間であるため、n個の スケルトンの可算結合として記述できない。それぞれのスケルトンは空の内部を持つ閉集合。この議論は、他の多くの無限次元空間に及ぶ。
  • 一般的な2次元CW複体の射影。[5]
  • n次元球 は、2つのセル(1つの0セルと1つのnセル)を持つCW構造を受け入れる。
  • n次元の実射影空間 は、各次元に1つのセルを持つCW構造を許可する。
  • グラスマン多様体は、シューベルトセル と呼ばれるCW構造を認める。
  • 微分可能多様体、代数および射影多様体 には、ホモトピー型のCW複体がある。
  • カスプ双曲多様体1点コンパクト化には、Epstein-Penner分解 と呼ばれる0セル(コンパクト化ポイント)が1つしかない正準CW分解がある。

出典編集

  1. ^ a b 近代ホモトピー論(1940年代から1960年代まで)”. 2020年5月30日閲覧。
  2. ^ Davis, James F.; Kirk, Paul (2001). Lecture Notes in Algebraic Topology. Providence, R.I.: American Mathematical Society 
  3. ^ https://ncatlab.org/nlab/show/CW+complex
  4. ^ https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/CW-complex
  5. ^ Turaev, V. G. (1994), "Quantum invariants of knots and 3-manifolds", De Gruyter Studies in Mathematics (Berlin: Walter de Gruyter & Co.) 18