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初等解析学における函数 cis は、余弦函数 cos正弦函数 sin を用いて cis(x) := cos(x) + i sin(x) と定義される[1][2][3][4]実変数英語版複素数値函数英語版である。ここに、i複素数虚数単位であり、また "cis" は "cos + i sin" の省略形である。

この函数 cis: RS1(⊂ C*) は、複素指数函数 ez を用いれば、cis(x) = eix, すなわち純虚変数 ix の指数函数(じゅんきょへんすうのしすうかんすう、: imaginary exponential function)として書くことができる(ここで、eix = cos(x) + i sin(x)オイラーの公式である)。したがってこのような別表記を設けることは一見冗長であるように思われるが、いくらかの利点に基づいてこのような表記が用いられている。

概観編集

初めて造語 cis が用いられたのはウィリアム・ローワン・ハミルトンの著書 Elements of Quaternions (1866)[5]であり、引き続いてアーヴィング・ストリンガム英語版Uniplanar Algebra (1893)[6][7]などで、あるいはジェームズ・ハークネス英語版フランク・モーリー英語版Introduction to the Theory of Analytic Functions (1898)[7][8]で用いた。

これは複素数平面においてオイラーの公式を通じて三角函数指数函数とを結びつけるもので、ほとんどの場合、ある種の式を簡素化するための簡便な省略記法として用いられる[5][6][1] か、教育上何らかの理由により指数函数を用いるべきでないときに用いられる。

情報技術において、様々な高度数学ライブラリ(例えば インテルMath Kernel Library (MKL)[9])でサポートされており、多くのコンパイラやプログラミング言語(例えば C, C++,[10] Common Lisp,[11][12] D,[13] Fortran,[14] Haskell[15])およびオペレーティングシステム(例えば Windows, Linux,[14] macOSHP-UX[16])で利用できる。プラットホームによっては、正弦函数と余弦函数を個別に呼び出すよりも二倍ほど速い[13][17]

第二次世界大戦後、数式記述にタイプライターが用いられるようになったころから、この記法はより広まった。上付き添え字は 'cis' や 'exp' よりも小さく、また上に偏っているから、手書きの場合でさえ困ることがある。eix2cis(x2)exp(ix2) を比較せよ、読み手には cis(x2) のほうが見易く読み取り易い[要出典]

場合によっては cis 記法を、問題のひとつの見方や扱い方を他と比べて強調するために用いられる。三角函数と指数函数のそれぞれにまつわる数学は、関連があるとはいえ同じものではない。指数函数は全体であることを強調し、対して cis(x)cos(x) + i sin(x) は部分を強調する記法である。これはこの函数について議論する数学者や技術者にとって修辞的に有用となることがあるし、あるいはある種の記憶術(c,i,s → cos + i sin))ともとれる。

cis 表記が三角函数と複素数から来るものとは知っているが、eix 表記の概念的理解はまだ」というような数学徒にとっては、この表記は便利である。学徒が事前の知識に基づいて構築される概念を学ぶ際に、彼らがまだ準備できていない数学のレベルに強制しないことが重要である(通常は cis(x) = eix の証明に微分積分学の知識を用いるが、それを学徒らは cos(x) + i sin(x) という式に遭遇する以前に学んでいないこともあり得る)。

性質編集

複素指数函数exp(z) = exp(x)⋅cis(y) (z = x + iy) と書くことができる。

と、これに xx を代用して得られる

  • cis(−x) = exp(−ix) = cos(−x) + i sin(−x) = cos(x) − i sin(x)

を連立して、cos(x) および sin(x) について解けば

  •  
  •  

を得る。

  • 微分:  [19]
  • 積分:  [18]

以下はオイラーの公式から直ちに従う:

  •  [20]
  •  

これらの等式は x, y が任意の複素数として成り立つ。x, y がともに実ならば

 [20]

と評価することができる。

関連項目編集

参考文献編集

  1. ^ a b Precalculus: Functions and Graphs (12 ed.). Cengage Learning. (2011). ISBN 0840068573. 9780840068576. https://books.google.com/books?id=8GB2Udf8wnoC 2016年1月18日閲覧。. 
  2. ^ a b Simmons, Bruce (2014年7月28日). “Cis”. Mathwords: Terms and Formulas from Algebra I to Calculus. Oregon City, OR, US: Clackamas Community College, Mathematics Department. 2016年1月15日閲覧。
  3. ^ Simmons, Bruce (2014年7月28日). “Polar Form of a Complex Number”. Mathwords: Terms and Formulas from Algebra I to Calculus. Oregon City, OR, US: Clackamas Community College, Mathematics Department. 2016年1月15日閲覧。
  4. ^ Pierce, Rod (2016年1月4日). “Complex Number Multiplication”. Maths Is Fun. 2016年1月15日閲覧。
  5. ^ a b Hamilton, William Rowan (1866-01-01). “II. Fractional powers, General roots of unity”. written at Dublin. In Hamilton, William Edwin. Elements of Quaternions. University Press, Michael Henry Gill, Dublin (printer) (1 ed.). London, UK: Longmans, Green & Co.. pp. 250–257, 260, 262–263. https://archive.org/stream/bub_gb_fIRAAAAAIAAJ#page/n5/mode/1up 2016年1月17日閲覧. "[…] cos […] + i sin […] we shall occasionally abridge to the following: […] cis […]. As to the marks […], they are to be considered as chiefly available for the present exposition of the system, and as not often wanted, nor employed, in the subsequent practise thereof; and the same remark applies to the recent abrigdement cis, for cos + i sin […]"  ([1], [2])
  6. ^ a b Stringham-1893Stringham, Irving (1893-07-01). Uniplanar Algebra, being part 1 of a propædeutic to the higher mathematical analysis. 1. C. A. Mordock & Co. (printer) (1 ed.). San Francisco, US: The Berkeley Press. pp. 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135. https://archive.org/details/uniplanaralgebra00stri 2016年1月18日閲覧. "As an abbreviation for cos θ + i sin θ it is convenient to use cis θ, which may be read: sector of θ." 
  7. ^ a b Cajori, Florian (1952). A History of Mathematical Notations. 2 (2 (3rd corrected printing of 1929 issue) ed.). Chicago, US: Open court publishing company. p. 133. ISBN 978-1-60206-714-1. 1602067147. https://books.google.com/books?id=bT5suOONXlgC 2016年1月18日閲覧. "Stringham denoted cos β + i sin β by "cis β", a notation also used by Harkness and Morley."  (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, US, 2013.)
  8. ^ Harkness-Morley-1898 Introduction to the Theory of Analytic Functions (1 ed.). London, UK: Macmillan and Company. (1898). pp. 18, 22, 48, 52, 170. ISBN 978-1164070191. 1164070193. https://books.google.com/books?id=W1FLAAAAMAAJ 2016年1月18日閲覧。.  (NB. ISBN for reprint by Kessinger Publishing, 2010.)
  9. ^ Intel. “v?CIS”. Intel Developer Zone. 2016年1月15日閲覧。
  10. ^ Intel C++ Compiler Reference”. Intel Corporation. pp. 34, 59–60 (2007年). 2016年1月15日閲覧。
  11. ^ CIS”. Common Lisp Hyperspec. The Harlequin Group Limited (1996年). 2016年1月15日閲覧。
  12. ^ CIS”. LispWorks, Ltd. (2005年). 2016年1月15日閲覧。
  13. ^ a b std.math: expi”. D programming language. Digital Mars (2016年1月11日). 2016年1月14日閲覧。
  14. ^ a b Installation Guide and Release Notes”. Intel Fortran Compiler Professional Edition 11.0 for Linux (2008年11月6日). 2016年1月15日閲覧。
  15. ^ CIS”. Haskell reference. ZVON. 2016年1月15日閲覧。
  16. ^ HP-UX 11i v2.0 non-critical impact: Changes to the IPF libm (NcEn843) – CC Impacts enhancement description – Major performance upgrades for power function and performace tuneups”. Hewlett-Packard Development Company, L.P. (2007年). 2016年1月15日閲覧。
  17. ^ a b Rationale for International Standard - Programming Languages - C”. pp. 114, 117, 183, 186–187 (2003年4月). 2010年10月17日閲覧。
  18. ^ a b Weisstein, Eric W. "Cis". MathWorld(英語).
  19. ^ Fuchs, Martin (2011). “11: Differenzierbarkeit von Funktionen” (German). Analysis I (WS 2011/2012 ed.). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes, Germany´. pp. 3, 13. http://www.math.uni-sb.de/ag/fuchs/Ana1/Paragraph11.pdf 2016年1月15日閲覧。. 
  20. ^ a b Fuchs, Martin (2011). “8.IV: Spezielle Funktionen – Die trigonometrischen Funktionen” (German). Analysis I (WS 2011/2012 ed.). Fachrichtung 6.1 Mathematik, Universität des Saarlandes, Germany´. pp. 16–20. http://www.math.uni-sb.de/ag/fuchs/Ana1/Paragraph8.pdf 2016年1月15日閲覧。. 

外部リンク編集