club集合 (クラブしゅうごう) あるいは閉非有界集合は、極限順序数の部分集合のうち、順序位相の意味でであり、基準となっている極限順序数の中で非有界なものである。

club という名前は、closed (閉) と unbounded (非有界) の合成語である。

正式な定義編集

正式には、  を極限順序数として、   の中でであるということは、任意の   に対して、「   ならば  」となることである。従って、  の中の点列の極限が   未満であればそれは   に属する。

  を極限順序数として、   の中で非有界であるということは、任意の   に対して、  なる   が存在するということである。

閉かつ非有界な集合をclub集合という。閉な真クラスも同様に定義される(全ての順序数による真クラスの中で、順序数の任意の真クラスは非有界である)。

例として、可算極限順序数全てによる集合は   の中でclubである。しかし、それより大きい極限順序数の中ではclubではない。閉でないし非有界でもないからである。正則基数   に対して、  未満の極限順序数全てによる集合は   内でclubである。

clubフィルター編集

 共終数   の極限順序数とする。ある   に対して、列    のclub集合の列であったとする。このとき、  もclubである。これを見るために、閉集合たちの共通部分は閉集合であるのは簡単なので、この集合が非有界であることを確かめる。

  を任意にとる。ある   に対して   が存在するとき、  から   となるように、  をとる。これは各   が非有界だから可能。そして、これらによる集合は順序数   未満の長さであり、この集合の上限は   未満である。そこで、これを   と定める。この方法により、可算列   を得る。

この列の極限は   の極限でもある。そして各   は閉で   が非可算なので、この極限は各   の元であるべきで、これは   より真に大きい   の元である。これで   が非有界であることが示された。このことから、  が正則基数であるとき   は非自明な   上の   -完備フィルターである。これをclubフィルターといい、  と表す。clubフィルターは対角線共通部分 (diagonal intersection) について閉じている。

これがフィルターであることを見る。

まず、  である(   自身は   のclub集合である)。  ならば、 部分集合としてもつ   の部分集合はやはり   の元である。   -完備であることは上で証明してあった。よって、これでフィルター性は確認された。

 対角線共通部分について閉じていることを確認する。  をclub集合の列とする。  をその対角線共通部分すなわち   とする。   が閉であることを示す。  かつ   かつ   とする。このとき、  とすると、各   に対して、  である。各   について、  である。従って、  である。よって、閉集合であることは示された。  が非有界であることを示す。  として、可算列   を以下のように定義する:   とし、   を、  なるうちでの   の最小要素とする。そのような要素は、多くないclub集合の共通部分がclubなので存在する。そして   かつ   である。それは、全ての   について、その要素が   の元だからである。よって、  は非有界である。

  が正則基数なら、club集合の族の対角線共通部分はclub集合である。さらに言えば、  が正則で    上のフィルターで対角線共通部分について閉じていて   (ただし   )の形の集合を全て要素に持つとすると   は全てのclub集合を要素に持つ。

関連項目編集

参考文献編集