本来の表記は「p -進l-函数」です。この記事に付けられた題名は技術的な制限または記事名の制約により不正確なものとなっています。

数学では、p-進ゼータ函数 (p-adic zeta function)、あるいはより一般的に p-進 L-函数 (p-adic L-function) とは、リーマンゼータ函数やより一般的なディリクレの L-函数に類似した函数であるが、函数の定義域値域p-進的であるものを言う(ここに p素数である)。p-進 L-函数の定義域は p-進整数環 Zp や、射有限 p-群ガロア表現p-進族であり、像はp-進数Qp もしくはその代数的閉包である。

ディリクレ L-函数編集

ディリクレ L-函数は、級数

 

の解析接続として与えられる。負の整数でのディリクレ L-函数の値は、

 

である。ここに、Bn,χ一般化されたベルヌーイ数であり、導手 f を持つディリクレ指標 χ に対し、

 

で定義される。

補完を使った定義編集

久保田-レオポルドの p-進 L-函数 Lp(s, χ) は、p でのオイラー因子を取り除いたディリクレのL-函数を補完する。さらに詳しくは、Lp(s, χ) は p-進数 s の連続函数であり、p − 1 により割ることのできる正の整数 n に対し

 

となる唯一のものである。この式の右辺はまさに通常のディリクレの L-函数から、p でのオイラー因子を取り除いたものである。また、 p でのオイラー因子を取り除かない 場合には、右辺は p-進的に連続とはならない。右辺の連続性は密接にクンマー合同英語版(Kummer congruence)と関連している。

n が p − 1 により割れない場合は、一般的にこのことは成立しない。代わりに、正の整数 n に対し、

 

が成り立つ。ここに χ はタイヒミューラー指標英語版(Teichmüller character) ω のべきによりツイストされている。

p-進測度と見なすと編集

p-進L-函数はまた、p-射有限ガロア群上のp-進測度英語版(p-adic measures)(あるいは、p-進分布英語版(p-adic distributions))とも考えることができる。この観点と久保田・レオポルトの観点との間の変換は(Zp 上の Qp-値を持つ函数として)、メイザー・メリン変換英語版(Mazur–Mellin transform)(と類体論)を経由する。

総実体編集

Deligne & Ribet (1980) では、前に行われている Serre (1973) に立脚し、総実体の解析的 p-進L-函数を構成した。Barsky (1978)Cassou-Noguès (1979)は独立に同じ結果を導き出したが、このアプローチは、新谷卓郎の L-値の研究のアプローチに従っている。

参考文献編集