smn定理 (: smn theorem) もしくはパラメータ定理 (: parameterization theorem) とは、再帰理論における定理であり、プログラミング言語(より一般化すれば、計算可能関数ゲーデル数)の基盤となっている[1][2]。これを最初に証明したのはスティーブン・コール・クリーネである[3]s-m-n定理と表記されることもある。

この定理を実用的に解説すると、あるプログラミング言語と正の整数 mn があるとき、m+n 個の自由変数を持つプログラムのソースコードを操作する特定のアルゴリズムがあることを示している。そのアルゴリズムは、与えられた m 個の値を最初の m 個の自由変数に束縛し、残りの変数を自由変数のままにしておく。

詳細編集

本定理の基本形は、2引数の関数に適用される。再帰関数のゲーデル数   が与えられたとき、次のような性質の2引数の原始再帰関数 s が存在する。すなわち、あらゆる2引数の関数 f のゲーデル数 p について、同じ x と y の組合せでの    が定義され、その組合せにおいて等しい。言い換えれば、次のような外延的等価性が成り立つ。

 

これを一般化するため、元の数を原始再帰関数で引き出せるように、n 個の数を1つの数に符号化する方法を採用する。例えば、それらの数のビットをインターリーブするといった符号化が考えられる。すると任意の正の数 mn について、m+1 個の引数をとる原始再帰関数   が存在し、次のように振舞う。すなわち、あらゆる m+n 引数の関数のゲーデル数 p について、

 

となる。  は、関数 s そのものである。

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以下のLISPのコードは、s11 を実装したものである。

(defun s11 (f x)
  (list 'lambda '(y) (list f x 'y))

例えば、(s11 '(lambda (x y) (+ x y)) 3) を評価すると (lambda (y) ((lambda (x y) (+ x y)) 3 y)) になる。

関連項目編集

脚注編集

  1. ^ Soare, R. (1987年). Recursively enumerable sets and degrees. Perspectives in Mathematical Logic. Springer-Verlag. ISBN 3-540-15299-7 
  2. ^ Rogers, H. (1987年) [1967年]. The Theory of Recursive Functions and Effective Computability. First MIT press paperback edition. ISBN 0-262-68052-1 
  3. ^ Kleene, S. C. (1943年). “General recursive functions of natural numbers”. Mathematische Annalen 53: 727–742. 

参考文献編集

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Kleene's s-m-n Theorem". MathWorld (英語).