半単純成分

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加群論環論の文脈において、 R 上の加群 M の半単純成分[1] (: socle) 、台[2][注釈 1]、底[3]、または台座[4]とは、M のすべての(非零)極小部分加群の和と定義される[1]。これは加群の根基双対概念と考えることができる。集合の記号で書けば

soc(M) = Σ { N | NM単純部分加群 }.

同じことであるが[5]

soc(M) = ∩ { E | EM本質部分加群 }.

R の半単純成分は環の2つの集合の一方を指す。R を右 R 加群と考えて soc(RR) が定義され、R を左 R 加群と考えて soc(RR) が定義される。これらの半単純成分はいずれも両側イデアルであるが[6]、一致するとは限らないことが知られている[注釈 2]

性質編集

群の socle編集

脚注編集

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  1. ^ 可換環論においても加群の台 (support) という用語がある。
  2. ^ もし環 R準フロベニウス環ならば一致する[7]

出典編集

  1. ^ a b 岩永 & 佐藤 2002, p. 82.
  2. ^ 永尾 & 津島 2009, p. 39.
  3. ^ 岩波数学辞典 2007, 62 加群.
  4. ^ ブルバキ 数学原論 代数6 (1970) p. 55.
  5. ^ Anderson & Fuller 1992, p. 118, 9.7. Proposition.
  6. ^ 岩永 & 佐藤 2002, p. 83, 命題 3-1-7(2).
  7. ^ 岩永 & 佐藤 2002, p. 275, 命題 8-3-6(1).
  8. ^ Anderson & Fuller 1992, pp. 317–318.
  9. ^ Anderson & Fuller 1992, pp. 117–118.
  10. ^ 岩永 & 佐藤 2002, p. 216.
  11. ^ Anderson & Fuller 1992, p. 126, 10.7. Proposition.
  12. ^ Anderson & Fuller 1992, p. 118.
  13. ^ Anderson & Fuller 1992, Corollary 15.21.

参考文献編集

  • 岩永, 恭雄、佐藤, 眞久『環と加群のホモロジー代数的理論』日本評論社、2002年、第1版。ISBN 978-4-535-78367-6
  • 永尾, 汎、津島, 行男『有限群の表現』裳華房〈数学選書8〉、2009年、第2版。ISBN 978-4-7853-1310-4
  • 岩波 数学辞典日本数学会岩波書店、2007年、第4版。ISBN 978-4-00-080309-0
  • Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R. (1992). Rings and Categories of Modules. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97845-1. https://books.google.com/books?id=MALaBwAAQBAJ 

関連項目編集