ブロカール点

ブロカール点（ブロカールてん、Brocard point）は、幾何学用語のひとつ。第一と第二の2つがあり、それぞれ任意の三角形においてひとつずつ存在する。

三角形のブロカール点

1875年に論文を発表したフランスの軍人アンリ・ブロカール (Henri Brocard、1845 - 1922) から命名された。

第一ブロカール点(1st Brocard point): △ABCの内部の点Ωにおいて、∠ΩAB=∠ΩBC=∠ΩCA=ωを満たす点のこと。
第二ブロカール点(2nd Brocard point): △ABCの内部の点Ω'において、∠Ω'AC=∠Ω'CB=∠Ω'BA=ωを満たす点のこと。; それぞれの三線座標は以下の様に与えられる^[1]。; ${\frac {c}{b}}:{\frac {a}{c}}:{\frac {b}{a}},\ {\frac {b}{c}}:{\frac {c}{a}}:{\frac {a}{b}}$

ブロカール角編集

定義中に登場した角度ωをブロカール角と呼ぶ。三角形の3つの角の大きさをαβγ、3辺の長さを abc、面積を S とすると以下の式が成り立つ。

$\cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma$
$\tan \omega ={\frac {4S}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$
$\sin \omega ={\frac {2S}{\sqrt {b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}}}}$
$\omega \leq 30^{o}$

その他の性質編集

2つのブロカール点と外心との距離は等しい。
2つのブロカール点は外心とルモワーヌ点を直径の両端とする円の上にある。この円をブロカール円という。

関連する点編集

2つのブロカール点の中点をブロカール中点という。この点は外心と類似重心を結ぶ直線上にある。ブロカール中点X(39)の三線座標は以下の様に与えられる^[2]。

$a(b^{2}+c^{2}):b(c^{2}+a^{2}):c(a^{2}+b^{2})$

ΩB と Ω'C の交点を A'、ΩC と Ω'A の交点を B'、ΩA と Ω'B の交点を C' としたとき、AA',BB',CC' は1点で交わる。この点を第三ブロカール点という。この点は類似重心の等長共役点であり、キーペルト双曲線上にある。第三ブロカール点X(76)の三線座標は以下の様に与えられる^[2]。

${\frac {1}{a^{3}}}:{\frac {1}{b^{3}}}:{\frac {1}{c^{3}}}$

四角形におけるブロカール点編集

F.G.W.Brown は1917年の Math Gazette において、四角形のブロカール点について記述している^[3]。

四角形が ABCD が円に内接し、AB×CD=BC×DA のとき、∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=ω となる点Pが存在する。同様に∠QAD=∠QBA=∠QCB=∠QDC=ω となる点Qが存在する。

脚注編集

^ Weisstein, Eric W.. “Brocard Points” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年3月21日閲覧。
^ ^a ^b “ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS”. faculty.evansville.edu. 2024年3月21日閲覧。
^ 1910年代の目次

関連項目編集

外部リンク編集

Weisstein, Eric W. "Brocard Points". mathworld.wolfram.com (英語).

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