ヤコビ恒等式

数学におけるヤコビ恒等式（ヤコビこうとうしき、英語: Jacobi identity）とは、二項演算に対して考えられる性質の一つ。名前はドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに由来する。

定義

集合 $S$ に二項演算 $*$ と可換かつ単位元 $0$ を持つ二項演算 $+$ が定義され、この$(S,+,*)$ について、

$a*(b*c)+b*(c*a)+c*(a*b)=0\quad \forall {a,b,c}\in S.$

が成立するとき、$(S,+,*)$ はヤコビ恒等式を満たすという。

• $S$ が $+$ によって加法群の構造を持ち、ねじれ元を持たないとき、$S$ の元は $*$ に関して冪零である。実際上記の恒等式で a = b = c とおけばよい。

式の解釈

$S$ が $+$ によって加法群の構造を持つとしよう。このときヤコビ恒等式は

$x*(b*c)=-c*(x*b)-b*(c*x)$

という形で書くことができる。左辺を x に対する b * c の随伴作用と解釈すると、右辺はそれを b の作用と c の作用で逐次的に行って実現するものと解釈することができる。

例

三次元ベクトルにおける外積

三次元のベクトル空間における外積（クロス積）はヤコビ恒等式を満たす。

${\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})+{\boldsymbol {b}}\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {c}}\times ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})={\boldsymbol {0}}$

リー環

リー環における積演算である括弧積はヤコビ恒等式を満たす。

$[[X,Y],Z]+[[Z,X],Y]+[[Y,Z],X]=0$

括弧積を随伴作用と考えれば、環上の微分におけるライプニッツ則として捉えることができる。すなわち、

$\mathrm {ad} _{X}(Y)=[X,Y]$

と表せば、上述のヤコビ恒等式は

$\mathrm {ad} _{Z}([X,Y])=[\mathrm {ad} _{Z}(X),Y]+[X,\mathrm {ad} _{Z}(Y)]$

であり、ライプニッツ則として解釈できる。

ポアソン括弧

解析力学におけるポアソン括弧はヤコビ恒等式を満たす。

$\{\{f,g\},h\}+\{\{h,f\},g\}+\{\{g,h\},f\}=0$

交換関係

量子力学における交換子はヤコビ恒等式を満たす。

$[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0$

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